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导数及其应用

1．已知关于x函数f（x）＝e2x﹣aex+bx（a，b∈R）．

（1）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线为x轴时，求函数f（x）的单调区间与极

值；

（2）当b＝﹣a时，若函数f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．

2xx+b，

解：（1）f′（x）＝2e﹣ae

若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线为x轴时，

则k＝f′（0）＝0，即2﹣a+b＝0，所以b＝a﹣2，①

切

切线方程为y﹣f（0）＝k（x﹣0），即y＝f（0）＝1﹣a，所以1﹣a＝0，②

切

由①②解得a＝1，b＝﹣1，

2xx

所以f（x）＝e﹣e﹣x，

f′（x）＝2e2xxx+1）（ex

﹣e﹣1＝（2e﹣1），

在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

在（﹣∞，0）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

所以f（x）＝f（0）＝0，无极大值．

极小值

2xx+bx＝e2xx

（2）若b＝﹣a，则f（x）＝e﹣ae﹣ae﹣ax，

令t＝e＞0，则x＝lnt，x

∴函数f（x）有两个不同零点等价于函数h（t）＝t2﹣at﹣alnt有两个大于零的零点，

2

2−−

=，＞

又因为ℎ′()=2−−0，

22+8a，

令g（t）＝2t﹣at﹣a，△＝a

①△⩽0时，即﹣8⩽a⩽0时，g（t）⩽0恒成立，∴h（t）⩽0恒成立，

此时h（t）在（0，+∞）上单调递增，h（t）至多有一个零点，不符题意．

②△＞0时，即a＜﹣8或a＞0时，g（t）＝0存在两个零点t，t，设t＜t，

1212

+=＜−4

（i）当a＜﹣8时，由韦达定理{122可知，t＜0，t＜0与t＞0矛盾，不

12

=−＞4

122

符合题意；

，＜

（ii）当a＞0时，g（t）对称轴为=(0)=−0，作出示意图．

4

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易知t1＜0＜t，2

2

++8

∴g（t）＝0在（0，+∞）上仅有一解t2，且2=√4，

所以g（t）在