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导数及其应用

1．设函数f（x）＝ex（ax+b）．若曲线在点P（0，f（0））处的切线方程为y＝4x+2．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）设g（x）＝x2+4x+2，若x≥﹣2时，kf（x）≥g（x），求k的取值范围．

解：（Ⅰ）由已知得f（0）＝2，f（0）＝4

而f（x）＝e（ax+b+a）x

所以有{=2从而{=2

+=4=2

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝2ke（x+1）x

设函数F（x）＝kf（x）﹣g（x）＝2ke（x+1）﹣x﹣4x﹣2x2

F（x）＝2kex（x+2）﹣2x﹣4＝2（ke﹣1）（x+2）x

由题设可得F（0）≥0，即k≥1

令F（x）＝0得x1＝﹣lnk，x＝﹣22

①若1≤k＜e2（2），则﹣2＜x1≤0．

从而当x∈（﹣2，x1）时，F（x）＜0；当x∈（x，+∞）时，F（x）＞0，1

即F（x）在（﹣2，x1）单调递减，在（x，+∞）单调递增．1

故F（x）在[﹣2，+∞）的最小值为F（x1）．

222

而()=2(+1)−−4−2=2+2−−4−2=−−2=

1

111111111

−x（x+2）≥0

11

故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即kf（x）≥g（x）恒成立．

②若k＝e22x2x﹣2

，则F（x）＝2（e﹣1）（x+2）＝2e（e﹣e）（x+2）e

从而当x＞﹣2时，F（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）单调递增．

而F（﹣2）＝0

故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即kf（x）≥g（x）恒成立．

③若k＞e2﹣2+2＝﹣2e﹣22

，则F（﹣2）＝﹣2ke（k﹣e）＜0

从而当x≥﹣2时，kf（x）≥g（x）不可能恒成立

综上，k的取值范围是[1，e2]．

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