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导数及其应用

1．设函数f（x）＝ex﹣asinx﹣1．

)时，f（x）＞0，求实数a的取值范围；

（1）当∈(−，

22

（2）求证：存在正实数a，使得xf（x）≥0总成立．

解：（1）∵f（x）＝e﹣asinx﹣1，x

∴f′（x）＝e﹣acosx，x

)时，f（x）＞0，

∵当∈(−，

22

∴e﹣acosx＞0在（−，）恒成立，x

22

即a＜在（−，）恒成立，

22

设g（x）=，x∈（−，），

22

(+)

∴g′（x）=2，

令g′（x）＝0，即cosx+sinx＝0，解得x=−，

4

当x∈（−，−）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，

24

当x∈（−，）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，

42

−

4

=2e−

∴g（x）min＝g（−4）=√2√4，

2

＜−

∴a2e，

√4

即a的取值范围为（﹣∞，2e−4）．

√

证明（2）当x＞0时，只要f（x）≥0，即e﹣asinx﹣1≥0，x

−1

∴≥sinx，

∵x＞0，

∴e﹣1＞0，sinx∈[﹣1，1]，x

−1

∴存在正实数a使得≥sinx成立，

即存在正实数a，使得xf（x）≥0总成立，

当x＝0时，恒成立，

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当x＜0时，

∵f（x）＝e﹣asinx﹣1≤0，x

∴e﹣asinx﹣1≤0，x

∴e﹣1≤asinx，x