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导数及其应用
1．
已知函数f（x）＝cosx（x≥0）．
1
2
（1）求证：f（x）≥1−；
2
（2））若对任意的x≥0，都有f（x）+ae﹣x≥2恒成立，求a的取值范围．x
1
2
（1）证明：设()=−(1−)(≥0)，则g′（x）＝x﹣sinx．
2
由g（x）＝1﹣cosx≥0，知g′（x）在（0，+∞）上递增，
∴g′（x）＝x﹣sinx≥g′（0）＝0．
1
2
从而()=−(1−)(≥0)是增函数，
2
∴g（x）≥g（0）＝0，故原不等式成立．
（2）解：若对任意的x≥0，都有f（x）+ae﹣x≥2恒成立x
⇔cosx+aex﹣x﹣2≥0对x∈（0，+∞）恒成立．
设φ（x）＝cosx+ae﹣x﹣2（x≥0），x
一方面，由φ（0）＝a﹣1≥0⇒a≥1．
另一方面，当a≥1时，φ（x）＝cosx+ae﹣x﹣2≥cosx+e﹣x﹣2，xx
11
22
利用（1）中的结论有：()≥1−+−−2=−−−1，
22
12
++12
构造函数ℎ()=2(≥0)，则ℎ()=−≤0，′
2
∴h（x）递减，从而h（x）≤h（0）＝1，
1
2
∴≥++1，∴φ（x）≥0恒成立．
2
综上得：a∈[1，+∞）．
+2−
（另法提示：已知⇔≥对x∈（0，+∞）恒成立．
+2−+−−1
构造函数()=(≥0)，可知()=′，
由（1）知sinx≤x，cosx≤1⇒g′（x）≤0⇒g（x）单调递减，
则a≥g（x）max＝g（0）＝1．）
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