导数及其应用复习题及答案 (23).pdfVIP

导数及其应用

1．已知函数f（x）＝lnx﹣x+ax，g（x）＝e2x﹣e，其中a＞0．

（1）若a＝1，证明：f（x）≤0；

（2）用max{m，n}表示mn中的较大值，设函数h（x）＝max{f（x），g（x）}，讨

论函数h（x）在（0，+∞）上的零点的个数．

1−(−1)(2+1)

解：（1）′()=−2+1=（x＞0），

1

令f（x）＝0，则x＝1或=−（舍），

2

∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

∴f（x）≤f（x）max＝f（1）＝0．

（2）在区间（1，+∞）上，g（x）＞0，∴h（x）＝max{f（x），g（x）}≥g（x）＞0，

∴h（x）在区间（1，+∞）上不可能有零点．

下面只考虑区间（0，1）上x＝1处的情况．

2

1−2++1

由题意f（x）的定义域为（0，+∞），′()=−2+=．

2

++8

令f（x0）＝0可得0=√4（负值舍去）．

在（0，x0）上f（x）＞0f（x）为增函数，在（x，+∞）上f（x）＜0，f（x）为减函数，0

∴f（x）max＝f（x）．0

①当a＝1时，x＝1，∴f（x）＝f（1）＝0．

0max

∵在区间（0，1）上，g（x）＜0，且g（1）＝0，

∴此时h（x）存在唯一的零点x＝1．

2

++8

②当0＜a＜1时，=√＜1．

04

11

∵′()=−2+=0，∴=2−．

000

00

1

22＜2

∴()=−+(2−)=+−11+1−1=0，

0000000

0

于是f（x）＜0恒成立，结合函数g（x）的性质，

可知此时h（x）存在唯一的零点x＝1．

2

++8

③当a＞1时，=√＞1，∴f（x）在（0，1）上递增．

04

第1页共2页

11111111