2024年第六届中国北方希望之星数学夏令营试题.docxVIP

第六届中国北方希望之星数学夏令营第一天试题

1.设n是正整数，r(n)是n正约数个数.

(1)能否将r(2),r(3),...,T(20)这19个数排成一排，使任意相邻两数不互素?

(2)能否将τ(2),r(3),r(4),...,T(200)这199个数排成一排，使任意相邻两数不互素?

2.求最大的正实数λ,满足对任意2n个非负实数aj,a?,….…,an,bj,b?……,b,只要aj,a?,…….,an不全小于1并且b?,bz,.…,bn不全小于1,则

(la)+[a?]+…+[an)([b?]+[b?]+…+[baD)≥A(Va?b?+Va?b?+…+vanb)2.

3.若H为△ABC的垂心，AD,CF,BE是三条高，过D作EF的垂线，垂足为P,Q为AH中垂线

与BC中垂线的交点，求证∠BAP=∠CAQ

4.若S为复数组成的有限集，满足：(1)I∈S;(2)S中不全为实数；(3)对复数a,b∈S,若a+beS,则a-b∈S且b-a∈S.求S||的所有可能值.

第二天

1.设a,b,c,d,e是正整数、满足a≥b≥c≥d≥e,a+b+c+d+e=100

且a2+b2+c2+d2+e2=2024,求a的所有可能值

2.ABCD是等腰梯形、AB//CD,ABEF是平行四边形，P是CE

上异于E的点、满足BE=BP,Q是DF上异于F的点，满足

AF=AQ求证：C,D,Q,P共圆

3.在一个2003×2024方格表的每个方格内填入正整数(有可能柏同),任意去掉一列，对于得到的2023×203方格表的任意一行，均存在一列中所填的2023数是这一行中所填数的排列，求方格表中所填不同正整数个数的最大值

4.求所有正奇数n(n2),满足存在1,2,…,n-1的一个排列a?,a?,…,an-1使得a1,a2,a3~an二1除以n的余数是1,2,…,n-1的一个排列