难点09 与圆有关的计算常考题型（5大热考题型）（解析版）-2025年中考数学一轮复习知识清单（全国通用）.docxVIP

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难点09与圆有关的计算常考题型

（5大热考题型）

题型一：正多边形和圆

题型二：与弧长有关的运算

题型三：与扇形面积有关的计算

题型四：不规则图形的面积计算

题型五：与圆锥有关的计算

题型一：正多边形和圆

【中考母题学方法】

【典例1】（山东青岛·中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．

【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：

??

∵正六边形内接于，

∴∠COD==60°，则∠COE=120°，

∴∠CME=∠COE=60°，

故选：D．

【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．

【典例2】（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为．

【答案】18

【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．

【详解】根据正n边形的中心角的度数为，

则，

故这个正多边形的边数为18，

故答案为：18．

【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．

【变式1-1】（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，AD和相交于点，则的度数为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设CD与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键．

【详解】解：连接，设CD与相交于点，

∵正四边形和正五边形内接于，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：．

【变式1-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（????）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可．

【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，

∵原点为正六边形的中心，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，则，

∴，，

∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，

∴点在双曲线上，

又∵点E也在双曲线上，

∴，

解得或（舍去），

∴，

故选：A．

【变式1-3】（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为．

【答案】

【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解．

【详解】

如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作，

在正八边形中，

∴

∵，，解得：

∴

∴正八边形为

∴

∴

∴的估计值为

故答案为：．

【变式1-4】（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】

在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．

【数学建模】

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．

【探索发现】

（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______．

（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案