1.4.3 空间向量的应用--距离问题-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册) (解析版).docxVIP

空间向量的应用--距离问题

利用空间向量法求距离问题

(1)点A、

AB=

(2)点Q到直线l

若Q为直线l外的一点，P在直线上，a为直线l的方向向量，b

则点Q到直线l距离为d

PS公式推导

如图，d=

(3)点Q到平面α的距离

若点Q为平面α外一点，点M为平面α内任一点，平面α的法向量为n，则Q到平面α的距离就等于MQ在法向量n方向上的投影的绝对值，即d

PS公式推导

如图，d=

(4)直线a平面α

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.

(5)利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.

【题型一】点到点的距离

【典题1】正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1

(1)当点M与点C重合时，线段AP的长度为

(2)线段AP长度的最小值为

【解析】(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为

设P(a,b,1)，当点M与C重合时，M(0,1,0)

AP=(a-1,b

∵AP⊥平面

∴AP?BD1

∴AP

∴线段AP的长度为|AP

(2)设CM=t∈[0,1]，则M

AP=(a-1,b

∵AP⊥平面

∴AP?BD1

∴AP

∴|AP

∴当t=12，即M是CC1

【点拨】

①线段AP的长度为|AP|，利用空间向量法使得几何问题“代数化

②本题的变化源头是“M的位置”，在第二问求AP长度的最小值，在引入参数中设CM=t

巩固练习

1(★)已知M为z轴上一点，且点M到点A(-1,0,1)与点(1,-3,2)的距离相等，则点M的坐标为.

【答案】(0,0,6)

【解析】∵M为z轴上一点，∴设M

∵点M到点A(－1,0,1)

∴(0+1)2

∴点M的坐标为M(0,0,6)

2(★)已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A(-1,-1,2)，点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则

【答案】342

【解析】∵点B是xoy平面内的直线x+y=1上的动点，

由空间两点之间的距离公式，得

|

令t

当m=12时，

∴当m=12时，|AB|的最小值为17

3(★)如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1

【答案】2

【解析】在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD

∴A1(2,0,2)，C(0,2,0)，

A(2,0,0)，B(2,2,0)，AB的

∴A1C的中点E到AB

|EF

故选：B．

4(★)空间点A(x,y,z)，O(0,0,0)，B(

【答案】2

【解析】∵空间点A(x,y,z)

∴A是以O为球心，1

∵B(2

∴|AB|

【题型二】点到线的距离

【典题1】P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB=3，AD=4，PA=1，则点P到BD的距离为

【解析】方法一

∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4，

过A作AE⊥BD，交BD于E，连结PE

∵PA⊥平面ABCD，

又AE⊥BD∴BD

∴PE⊥BD，即PE是点P

∵12×

∴PE=PA2+E2=

方法二依题意可知，PA、

如图建立空间直角坐标系

∴P

∴BP=

∴点P到BD的距离为d=

【点拨】

①方法一是几何法，找到点P到BD的距离PE;方法二是向量法，利用点到直线距离公式d=1BD

②向量法中的公式(*)有些复杂，不建议直接使用，还不如使用其推导方法

求点P到直线BD的距离

(1)求出直线BD的方向向量BD=(-3,4,0)

(2)在直线BD上找一点B，求出其与点P的向量BP=

(3)求两向量夹角余弦值，cos

(4)求点P到BD的距离，d=

巩固练习

1(★)已知直线l的方向向量为a=(-1,0,1)，点A(1,2,-1)在l上，则点P(2,-1,2)到l的距离为

【答案】17

【解析】根据题意，得PA→=(－

∴cos

∴sin

又∵|

∴点P(2,－1,2)到直线l

2(★)已知直线l过定点A(2,3,1)，且n=(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为

【答案】32

【解析】PA→=(－2，0

cos＜

设直线PA与直线l所成的角为θ，则cosθ=|cos＜

故sinθ=

∴点P(4，3，2)

3(★★)已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为

【答案】2

【解析】∵A(0,0,2)，B(1,0,2)

AB→=(1,0,0)，

∴