2.1.1 等式的性质与方程的解-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)（原卷版）.docxVIP

2.1.1等式的性质与方程的解

一、等式的性质

1、等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立

2、等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立

用符号语言和量词表示上述等式的性质：

如果a=b，则对任意c，都有；

如果a=b，则对任意不为零的c，都有.

3、等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为减去、除以，结论仍成立.

二、恒等式

1、恒等式的含义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。

【注意】恒等式是代数变形的依据之一。

2、常见的代数恒等式

（1），

（2）

（3），

（4），

3、十字相乘法

给定式子，如果能找到和，使得且，

则

为了方便记忆，已知和，寻找满足条件的和的过程，常用图来表示：

其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加等于C，

正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”。

4、利用恒等式化简的步骤

（1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；

（2）提公因式后，看多项式的项数

=1\*GB3①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解；

=2\*GB3②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解；

=3\*GB3③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。

（3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。

三、方程的解集

一般地，把一个方程所有解组成的集合，称为这个方程的解集.

利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。

题型一等式的性质与应用

【例1】已知，则下列比例式成立的是（）

A．B．C．D．

【变式1-1】下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（）

A．如果，那么B．如果，那么

C．如果，那么D．如果，那么

【变式1-2】下列变形错误的是（）

A．如果，则B．如果，则

C．如果，则D．如果，则

【变式1-3】下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（）

A．如果，那么B．如果，那么

C．如果，那么D．如果，那么

题型二恒等式的化简

【例2】下列等式中，属于恒等式的是（）

A．B．C．D．

【变式2-1】已知多项式分解因式为，则的值为（）

A．；B．；C．；D．

【变式2-2】下列各式运算正确的是

A．B．

C．D．

【变式2-3】对于任意实数，等式恒成立，则___________

题型三一元二次式因式分解

【例3】用十字相乘法分解因式：

（1）；（2）；

【变式3-1】将下列各式因式分解：

（1）；（2）；（3）

【变式3-2】求下列方程的解集：

（1）；

（2）；

（3）；

【变式3-3】将下列各式因式分解：

（1）；（2）；（3）.

题型四多元高次是因式分解

【例4】分解因式=________．

【变式4-1】用十字相乘法分解因式：

（1）；（2）．

【变式4-2】把下列各式因式分解

（1）6m2－5mn－6n2；

（2）20x2＋7xy－6y2；

（3）2x4＋x2y2－3y4；

（4）.

【变式4-3】把下列各式分解因式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

题型五方程的解

【例5】一元二次方程的解集是（）

A．B．C．D．

【变式5-1】已知关于的方程的解集为，则实数的值（）

A．0B．1C．D．

【变式5-2】方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（）

A．B．C．D．

【变式5-3】用因式分解法求下列方程的解集．

（1）6x(x＋1)＝5(x＋1)；

（2）(2x－1)2－(x＋1)2＝0；

（3）(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.