2.1.1 等式的性质与方程的解-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)（解析版）.docxVIP

2.1.1等式的性质与方程的解

一、等式的性质

1、等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立

2、等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立

用符号语言和量词表示上述等式的性质：

如果a=b，则对任意c，都有；

如果a=b，则对任意不为零的c，都有.

3、等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为减去、除以，结论仍成立.

二、恒等式

1、恒等式的含义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。

【注意】恒等式是代数变形的依据之一。

2、常见的代数恒等式

（1），

（2）

（3），

（4），

3、十字相乘法

给定式子，如果能找到和，使得且，

则

为了方便记忆，已知和，寻找满足条件的和的过程，常用图来表示：

其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加等于C，

正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”。

4、利用恒等式化简的步骤

（1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；

（2）提公因式后，看多项式的项数

=1\*GB3①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解；

=2\*GB3②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解；

=3\*GB3③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。

（3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。

三、方程的解集

一般地，把一个方程所有解组成的集合，称为这个方程的解集.

利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。

题型一等式的性质与应用

【例1】已知，则下列比例式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为，则，

则，，故B选项正确，ACD选项错误.故选：B.

【变式1-1】下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（）

A．如果，那么B．如果，那么

C．如果，那么D．如果，那么

【答案】D

【解析】选项A，当时，显然不成立；

选项B，如果，那么或，显然不成立；

选项C，当时，无意义，不成立；

选项D，如果，则，故，即，成立，故选：D

【变式1-2】下列变形错误的是（）

A．如果，则B．如果，则

C．如果，则D．如果，则

【答案】B

【解析】A、，两边都加，得，故A正确；

B、时，两边都除以无意义，故B错误；

C、因为，方程两边同除以，得，故C正确；

D、两边都乘以，故D正确；故选：B．

【变式1-3】下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（）

A．如果，那么B．如果，那么

C．如果，那么D．如果，那么

【答案】B

【解析】如果，当时，那么不成立，故A错误；

如果，由等式的性质知，故B正确；

如果当时，那么不成立，故C错误；

如果，那么或，故D错误.故选：B.

题型二恒等式的化简

【例2】下列等式中，属于恒等式的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】选项A，只有时，等式成立，故不是恒等式，A错；

选项B，对任意成立，B对；

选项C，只有时，等式成立，故不是恒等式，C错；

选项D，，故不是恒等式，D错故选：B

【变式2-1】已知多项式分解因式为，则的值为（）

A．；B．；C．；D．

【答案】D

【解析】展开

，解得：，.故选：D

【变式2-2】下列各式运算正确的是

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】对于A选项，右边左边，故A选项错误.

对于B选项，右边左边，故B选项错误.

对于C选项，根据立方和公式可知，C选项正确.

对于D选项，根据立方差公式可知，

正确的运算是，故D选项错误.故选C.

【变式2-3】对于任意实数，等式恒成立，则___________

【答案】1

【解析】因为等式恒成立，

所以，

所以.

题型三一元二次式因式分解

【例3】用十字相乘法分解因式：

（1）；（2）；

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）=；

（2）=；

【变式3-1】将下列各式因式分解：

（1）；（2）；（3）

【答案】答案见解析.

【解析】（1）；

（2）；

（3）

【变式3-2】求下列方程的解集：

（1）；

（2）；

（3）；

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1），原方程化为，

解得或，所以原方程的解集为.

（2），原方程化为，

解得或，所以原方程的解集为.

（3），原方程化为，

解得或，所以原方程的解集为.

【变式3-3】将下列各式因式分解：

（1）；（2）；