专题3.4 平面向量及其应用（解析版）.docxVIP

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专题3-4平面向量及其应用

01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02考情分析·解密高考

03高频考点·以考定法（三大命题方向+四道高考预测试题，高考必考·5分）

命题点1平面向量的数量积运算

命题点2平面向量的线性运算

命题点3平面向量综合应用

高考猜题

04创新好题·分层训练（精选8道必威体育精装版名校模拟试题+8道易错提升）

解三角形是新高考中必考点，一般以一道小题形式出现，一般作为选择题或者是填空题的形式出现，难度不大。

真题多维细目表

考点

考向

考题

解三角形

平面向量的数量积运算

平面向量的线性运算

③平面向量综合应用

2023新全国Ⅰ卷T3新高考Ⅱ卷T13

全国乙卷（文）T6全国甲（文）T3(理)T4

2022新高考Ⅱ卷T4全国乙卷T3全国甲T13

2021新高考Ⅱ卷T15新全国Ⅰ卷T10（多选）

全国乙卷（文）T13（理）T14

全国甲（文）T13（理）T14

2022新全国Ⅰ卷T3

2023乙卷（理）T12

命题点1平面向量数量积运算

典例01（2023·全国新课标Ⅰ卷）已知向量，若，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．

【详解】因为，所以，，

由可得，，

即，整理得：．

故选：D．

典例02（多选题）（2021·全国高考Ⅰ卷）已知为坐标原点，点，，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：，，所以，，故，正确；

B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；

C：由题意得：，，正确；

D：由题意得：，

，故一般来说故错误；

故选：AC

命题点2平面向量的线性运算

典例01（2022·全国新高考Ⅰ卷）在中，点D在边AB上，．记，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．

故选：B．

典例02（2020·新高考Ⅱ卷）在中，D是AB边上的中点，则=（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

故选：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

命题点3平面向量综合应用

典例011．（2023·全国高考乙卷）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】如图所示，，则由题意可知:，

由勾股定理可得

??

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，

则：

，则

当时，有最大值.

??

当点位于直线同侧时，设，

则：

，

，则

当时，有最大值.

综上可得，的最大值为.

故选：A.

此类综合题中难度较大。本题中对于向量与解析几何结合问题一般来说采用数形结合思想，将向量的运算通过角度转化成数量积运算，通过设夹角，将向量转化成关于夹角的数量积，从而再利用辅助角公式即可。

此类综合题中难度较大。本题中对于向量与解析几何结合问题一般来说采用数形结合思想，将向量的运算通过角度转化成数量积运算，通过设夹角，将向量转化成关于夹角的数量积，从而再利用辅助角公式即可。

预计2024年高考会向量数量积运算问题，并以单选或者是多选的形式出现

一、单选题

1．若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意先分别算出的值，然后将“与垂直”等价转换为，从而即可求解.

【详解】由题意有，

又因为与垂直，

所以，

整理得，解得.

故选：B.

2．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量加减法的几何意义即三角形法则与平行四边形法则，进行运算即可.

【详解】点F在BE上且为中点，且E是对角线AC上靠近点的三等分点，

则

，

故选：A.

二、多选题

3．已知向量，，，则下列命题正确的是（????）

A．若，则 B．存在，使得

C．向量是与共线的单位向量 D．在上的投影向量为

【答案】BCD

【分析】根据向量关系依次计算判断即可.

【详解】对A，若，则，则，故A错误；

对B，要使，则，则，因为，所以，故存在，使得，故B正确；

对C，因为，所以，又，所以向量是与共线的单位向量，故C正确；

对D，因为为单