2024-2025学年上海市高三上学期期中考试数学检测试题（附解析）.docxVIP

2024-2025学年上海市高三上学期期中考试数学检测试题

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1.函数的定义域为__________．

【正确答案】

【分析】根据分式和根式对自变量的要求可得答案.

因为，所以，即，所以定义域为.

故答案为.

2.计算______．

【正确答案】##

【分析】运用对数运算性质计算即可

故答案为.

3.已知是1与9的等比中项，则正实数______．

【正确答案】3

【分析】根据等比中项的定义得到方程，解出即可.

由题意得，且，解得.

故3.

4.在的展开式中，的系数为______（用数字作答）．

【正确答案】18

【分析】由二项式展开式的公式即可得到答案.

的展开式中第项为：，

∴令，即，

∴的系数为：18

故18

5.在复平面内，复数对应的点位于第______象限.

【正确答案】三

【分析】经计算结合复数的坐标形式可得所在象限.

，其在复平面对应坐标为，故该点在第三象限.

故三

6.已知，则______．

【正确答案】##

【分析】依题意利用两角之间的关系并根据诱导公式计算可得结果.

根据题意，由诱导公式可得,

所以.

故

7.已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．

【正确答案】

【分析】是自然数集且，所以的值越小，则的值越小，注意相同元素要舍去，即可得到对应集合.

要想越小，则取值越小，

故时，；故时，；故时，；故时，；

故集合中最小的4个元素所构成的集合为，

故答案为.

8.已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）．

【正确答案】a

【分析】由图象可得与1的大小情况，由此可得与0的大小关系，即可得单调性.

，则.

又由图可得时，；

时，.则在上单调递增，在上单调递减.

则的极大值点为a.

故a

9.已知函数．在中，，且，则______．

【正确答案】

【分析】化简函数，根据题意，得到，进而求得，即可求解；

由函数，

因为，可得，

在中，因，所以，

又因为，所以，所以，解得，

因为，所以.

故答案为.

10.如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．

【正确答案】4

【分析】由直角三角形性质可得或，后由勾股定理结合集合互异性可得答案.

如图，因为，且长度构成集合，

因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和，

所以或，

当时，可分为

，此时由勾股定理可得，解得；

，此时由勾股定理可得，解得；

，此时由勾股定理可得，解得；

由集合的互异性，可知3需舍去；

当，可分为：

，解得；

，解得；

，解得；

综上，的值可能为.

故4

11.抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是______．

【正确答案】1

【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值.

设，如图所示，根据抛物线的定义，

可知，，

在梯形中，有，

在中，，

又，

，故的最大值是1．

故1.

12.平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______．

【正确答案】

【分析】利用题目提供信息结合图形，将转化为，后由图形以及不等式知识可得答案.

如图所示建立坐标系，则．

其中,则.

设满足，

故，

整理得到.

故．

当三点共线时，即BE与单位圆相切，在时，有最小值为；

又，

则

，当且仅当，即时取等号.

又注意到当时，，则，当且仅当时取等号.

则，当，即在等号成立．

故．

关键点睛：本题所给信息涉及“阿氏圆”，我们常利用“阿氏圆”将不同系数的求值问题转变为相同系数求值.题中所涉不等式：为均值不等式链的一部分，即平方平均大于算术平均.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13.已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）

A. B.

C. D.

【正确答案】B

【分析】AD选项可以通过取特殊值使得式子不成立，从而排除错误选项；C选项通过基本不等式得到的结果可以取等号与题目不符也排除；B选项讨论的取值范围，当时显然成立，当时通过构造二次函数，由函数单调性得到函数值为正，从而证明结论.

详解】A选项，当时，显然不成立；

B选项，当时，显然恒成立，当时，，

令，在上单调递增且，即，

又∵当且仅当时取等号，∴

即，∴恒成立；

C选项，∵，∴，当且仅当取等号，故不恒成立；

D选项，当时，显然不成立.

故选：B.

14.已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）

A.不存在，使得的倾斜角为 B.对任意的，与都不垂直

C.存在，使得与重合 D.对任意的，与