常微分方程第一章.pptVIP

主讲：肖萍数学与计量经济学院常微分方程

第一章微分方程的根本概念教学要求实际问题中的一些常微分方程例1例2例3微分方程的概念例4例5例6微分方程的解的概念微分方程的积分曲线的概念例7例8结束引言

教学要求(1)了解微分方程，了解微分方程的阶、线性和非线性，微分方程的解、通解、初始条件和特解等概念.(2)会建立一些简单的几何和物理问题的微分方程模型.返回完

微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中,往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系,却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系,从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程,即微分方程.通过求解这种方程,同样可以找到指定未知量之间的函数关系.因此,微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具.引言如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究,了解和知晓现实世界的工具”,那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种表达.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题.例如,物体的冷却,人口的增长,琴弦的振动,电磁波的传播等,都可以归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.返回完

实际问题中的一些常微分方程应用数学手段研究自然现象,社会问题或解决工程技术问题,一般要依据该问题相关的规律建立数学模型,然后对模型进行简化和求解,最后结合实际问题对结果进行分析和讨论.实际问题数学模型数学结果数学工具数学方法数学语言返回完

物体冷却过程的数学模型解:(1)物理依据——Newton冷却定律:物质温度变化速度与该物质和其所在介质的温差成正比,即(2)数学模型——一阶常微分方程例1初始条件(3)求解通解:特解:代入初始条件(4)本问题的温度与时间的关系——确定k的值(5)答案返回完

物体运动过程的数学模型解:(1)物理依据——Newton第二运动定律:F=ma(2)数学模型——二阶常微分方程例2一质量为m的物体以初速度v0在距地面为H的高处自由落体,不记空气阻力,试求(a)物体在t时刻的位移s(t);(b)物体落地时间T.如图(1.1)建立直角坐标系s(t)HFig.1.1.so(3)求解(a)将初始条件代入得:c1=v0,c2=0.所以,(b)由s(T)=H得:返回完

oxFig.1.2y例3解析几何模型解:(1)建模依据——曲线y=y(x)导数的几何意义.(2)数学模型(3)求解通解：曲线族特解：过(1,2)满足题意的一条曲线.求一曲线,该曲线过点(1,2)且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为该点横坐标的2倍.(1,2)完返回

例4传染病模型解:建模依据——在单位时间内传染上病的人数与尚未被染上病的人数成正比.(2)数学模型△t时间内x(t)的平均改变量:△t时间内x(t)的平均变化率为:在某个城镇发生了一种传染病,应立刻采取隔离措施.设该城镇总人数为N,以x(t)表示t时刻已传染人数,开始时x(0)=x0,以y(t)表示t时刻尚未被染上病的人数.假设暂时不考虑死亡的问题和不区分敏感人群,免疫人群问题,试建立传染病的数学模型.x(t)的瞬时变化率为:完返回

微分方程的概念联系着自变量、未知函数及未知函数导数(或微分)的方程称为微分方程.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.例如,分别是一阶,二阶和n阶常微分方程.它们都是微分方程.分别是一阶和二阶偏微分方程.而方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶.注意:未知函数可以不出现,但其导数不可以不出现哦!

本课程我们只讨论常微分方程.常微分方程的一般形式是:如果能从方程(1)中解出最高阶导数,就得到微分方程如果方程(1)可表为如下形式:那么称为n阶线性微分方程,其中a1(x),a2(x),…,an(x)和f(x)均为自变量x的函数.当f(x)=0,方程(3)成为返回n阶显式方程n阶隐式方程完方程(4)称为n阶齐线性方程.相应地,方程(3)称为n阶非齐线性方程.不能表示