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2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【解析】因为或，，

则.

故选：D.

2.已知，为虚数单位，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.

【解析】因为，则，故.

故选：C.

3.已知平面向量，，且，则（）

A. B.0 C.1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.

【解析】因为，，

所以，，

因为，所以，解得.

故选：A

4.已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线性质：双曲线左支上的点到右焦点的距离：可确定双曲线离心率的取值范围.

【解析】由题意：.

故选：A

5.已知，，则（）

A. B. C.或 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得出，解方程，可得出的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得的值.

【解析】因为，则，由已知可得，解得，

故.

故选：D.

6.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，（，常数）．利用以上公式，可以估算的值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得，，两式相减，根据对数的运算法则计算可得.

【解析】依题意可得，

，

两式相减可得.

故选：B

7.已知，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得，利用充分条件、必要条件的定义判断可得答案．

【解析】，则，，

所以，

所以由不能推出，充分性不成立；

反之，成立，即必要性成立；

，则“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

8.已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可.

【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：

由圆的几何性质可知，，

因，，，所以，，

所以，，则，

设，则为的中点，

由勾股定理可得，

由等面积法可得，

所以，当取最小值时，取最小值，由，可得，

所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值，

则，因为，解得.

故选：D.

【小结】方法小结：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种：

（1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解；

（2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（）

A.

B.这组数据的中位数为4

C.若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5

D.这组数据的第70百分位数为5.5

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据平均数求出值，再根据百分位的性质求出结果．

【解析】由题意得，解得，故A正确；

将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数，故B错误；

若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为，故C正确；

因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．

故选：ACD．

10.在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（）

A.

B.

C.是锐角三角形

D.的最大内角是最小内角的倍

【答案】AC

【解析】

【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选项.

【解析】对于A，由正弦定理可得，A对；

对于B，由余弦定理可得，，，

所以，，B错；

对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对；

对于D，由题意知，为最小角，则，

因为，则，则，D错.

故选：AC.

11.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，，点E是棱上一点（不包括端点）