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专题59二项式定理
必威体育精装版考纲
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
基础知识融会贯通
1.二项式定理
二项式定理
(a+b)n=Ceq\o\al(0,n)an+Ceq\o\al(1,n)an-1b1+…+Ceq\o\al(k,n)an-kbk+…+Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)
二项展开式
的通项公式
Tk+1=Ceq\o\al(k,n)an-kbk,它表示第k+1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2,…,n})
2.二项式系数的性质
(1)Ceq\o\al(0,n)=1,Ceq\o\al(n,n)=1.
Ceq\o\al(m,n+1)=Ceq\o\al(m-1,n)+Ceq\o\al(m,n).
(2)Ceq\o\al(m,n)=Ceq\o\al(n-m,n).
(3)当n是偶数时,项的二项式系数最大;当n是奇数时,与+1项的二项式系数相等且最大.
(4)(a+b)n展开式的二项式系数和:Ceq\o\al(0,n)+Ceq\o\al(1,n)+Ceq\o\al(2,n)+…+Ceq\o\al(n,n)=2n.
【知识拓展】
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从Ceq\o\al(0,n),Ceq\o\al(1,n),一直到Ceq\o\al(n-1,n),Ceq\o\al(n,n).
重点难点突破
【题型一】二项展开式
命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数
【典型例题】
的展开式中,含x3项的系数为()
A.﹣60 B.﹣12 C.12 D.60
【再练一题】
(x﹣1)(3x2+1)3的展开式中x4的系数是()
A.27 B.﹣27 C.26 D.﹣26
命题点2已知二项展开式某项的系数求参数
【典型例题】
若()n的展开式中存在常数项,则n的值可以是()
A.8 B.9 C.10 D.12
【再练一题】
若x(x)5的展开式中常数项为270,则实数a=()
A.1 B.2 C.3 D.4
思维升华求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项公式即可.
【题型二】二项式系数的和与各项的系数和问题
【典型例题】
(x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为()
A.1 B.20 C.21 D.31
【再练一题】
(2x﹣3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,则(3x﹣2y)n展开式中各项的二项式系数之和等于()
A.16 B.32 C.64 D.128
思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=eq\f(f?1?+f?-1?,2),偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=eq\f(f?1?-f?-1?,2).
【题型三】二项式定理的应用
【典型例题】
若(x﹣2)5﹣3x4=a0+a1(x﹣3)+a2(x﹣3)2+a3(x﹣3)3+a4(x﹣3)4+a5(x﹣3)5,则a3=()
A.﹣70 B.28 C.﹣26 D.40
【再练一题】
502019+1被7除后的余数为.
思维升华(1)逆用二项式定理的关键
根据所给式子的特点结合二项展开式的要求,使之具备二项式定理右边的结构,然后逆用二项式定理求解.
(2)利用二项式定理解决整除问题的思路
①观察除式与被除式间的关系;
②将被除式拆成二项式;
③结合二项式定理得出结论.
基础知识训练
1.【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中的系数为()
A.20 B.15 C.10 D.5
2.【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次(5月)质量检查考试】的展开式中的系数为()
A. B. C. D.
3.【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】已知的展开式中的系数为,则()
A.1 B. C. D.
4.【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含项的系数是()
A.-40 B.-20 C.20 D.40
5.【
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