专题59 二项式定理（原卷版）.docVIP

专题59二项式定理

必威体育精装版考纲

会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

基础知识融会贯通

1．二项式定理

二项式定理

(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)

二项展开式

的通项公式

Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项

二项式系数

二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})

2.二项式系数的性质

(1)Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(n,n)＝1.

Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).

(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).

(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与＋1项的二项式系数相等且最大．

(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

【知识拓展】

二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).

重点难点突破

【题型一】二项展开式

命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数

【典型例题】

的展开式中，含x3项的系数为（）

A．﹣60 B．﹣12 C．12 D．60

【再练一题】

（x﹣1）（3x2+1）3的展开式中x4的系数是（）

A．27 B．﹣27 C．26 D．﹣26

命题点2已知二项展开式某项的系数求参数

【典型例题】

若（）n的展开式中存在常数项，则n的值可以是（）

A．8 B．9 C．10 D．12

【再练一题】

若x（x）5的展开式中常数项为270，则实数a＝（）

A．1 B．2 C．3 D．4

思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．

【题型二】二项式系数的和与各项的系数和问题

【典型例题】

（x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（）

A．1 B．20 C．21 D．31

【再练一题】

（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x﹣2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于（）

A．16 B．32 C．64 D．128

思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f?1?＋f?－1?,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f?1?－f?－1?,2).

【题型三】二项式定理的应用

【典型例题】

若（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，则a3＝（）

A．﹣70 B．28 C．﹣26 D．40

【再练一题】

502019+1被7除后的余数为．

思维升华(1)逆用二项式定理的关键

根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．

(2)利用二项式定理解决整除问题的思路

①观察除式与被除式间的关系；

②将被除式拆成二项式；

③结合二项式定理得出结论．

基础知识训练

1．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（）

A．20 B．15 C．10 D．5

2．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】的展开式中的系数为()

A． B． C． D．

3．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】已知的展开式中的系数为，则（）

A．1 B． C． D．

4．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是（）

A．-40 B．-20 C．20 D．40

5．【