江苏省苏州市第五中学高中数学 23向量的坐标表示学案 苏教版必修4.docVIP

23向量的坐标表示

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

平面向量的基本定理及其意义

了解

结合直角坐标系理解向量的基本定理与正交分解

平面向量的正交分解及其坐标表示

理解

用坐标表示平面向量的加减与数乘运算

了解

用坐标表示的平面向量共线的条件(对线段定比分点坐标公式不作要求)

理解

二预习指导

1预习目标

(1)了解把平面上的任意一向量分解成两个给定方向的分向量的过程，了解平面向量基本定理；

(2)阅读课本,了解怎样用坐标(x，y)表示平面向量，学会利用坐标来进行平面向量的运算，学习通过向量的坐标运算来判断两个向量是否共线,会用向量的坐标运算解决几何问题

2预习提纲

(1)平面向量基本定理阅读教材P70~71内容，理解以下内容：①平面向量基本定理；②基底；③向量的分解思考讨论：①平面向量定理中“有且只有”的含义是什么？②在表示向量时，基底惟一吗？基底有什么特征？

(2)平面向量的坐标表示阅读教材P72~76内容，理解以下内容：①向量的坐标表示；②平面向量的坐标运算；③向量平行的坐标表示思考讨论：①相等向量的坐标有什么特点？②以(x,y)为坐标的向量有多少个？

3典型例题

(1)平面向量基本定理

由平面向量共线定理可知，任意一个向量可用一个与它共线的非零向量来线形表示，而且这种表示是唯一的；平面向量基本定理是向量共线定理的推广，平面内任一向量可以用两个不共线的向量来表示

例1在平行四边形中，设，试用表示

分析：解答本题首先借助三角形或多边形法则，利用向量加减法，用表示来求或建立的方程，解方程组求解

解：如图，方法一(转化思想)

设ACBD交与点O，

则有，

；

,

方法二(方程思想)

设，则有

且，即，

，即，

点评：本题类型是用基向量表示未知向量，一般有两种方法，一是充分利用向量线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解，二是采用方程思想，即直接用表示，然后把看作未知量，利用方程思想求解

(2)平面向量的坐标运算

与前面研究的向量的“形”的角度比，向量的坐标运算主要从“数”的角度进行考察，学习中始终要注意数形结合的思想

例2已知，，求实数xy，使

分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可

解：由题意有=

又

∴=3且=5

解之得x=7且y=4

点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法

例3已知A(1，2)，B(2，8)，=，=，求点CD和向量的坐标

分析：待定系数法设定点CD的坐标，再根据向量，和关系进行坐标运算，用方程思想解之

解：设CD的坐标为，

由题意得?，=(3，6)，

，又=，

∴=，=

即=(1,2)，=(1,2)

∴且，且

∴且，且

∴点CD和向量的坐标分别为(0，4)(2，0)和(2，4)

点评：本题涉及到方程思想，对运算能力要求较高

例4已知当实数为何值时与平行？

分析：本题可用平面向量基本定理和平行向量坐标表示两种方法求解，两种方法的本质一样，从本题看，研究两向量平行时，若坐标已知，用坐标法更简单

解：法一：当与平行时，存在唯一的实数使=()，即=，即

，∴与不共线，

由平面向量基本定理可知，得，则

法二：

要使与平行，则

求得

点评：此类问题要充分利用向量共线条件及向量共线定理向量相等条件，建立方程与方程组，从而求解参数

例5用向量的坐标运算方法，求证：A(3,4)，B(9,2)，C(1,2)三点共线

分析：此题考察向量共线的坐标表示，进而证明三点共线

证明：证法一：由＝(9，2)(3，4)＝(12，6)，

＝(1，2)(9，2)＝(8，4)，

∴＝，∴//

又因为有向线段，有公共端点B，∴ABC三点共线

证法二：∵＝(12，6)，＝(8，4)，且(12)×(4)6×8＝0,

∴//，又因为有向线段，有公共端点B，

∴ABC三点共线

例6已知，，及,试问:

(1)t为何值时,P在第二象限?

(2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能求出相应的t；若不能,请说明理由

分析:利用向量相等建立向量的坐标之间的关系,再由条件求出

解：(1)因为，，

若P在第二象限,则；

(2)

若四边形OABP为平行四边形,则,而无解,

所以四边形OABP不能构成平行四边形

点评：此类题目关键是正确进行坐标运算，充分转化条件，即向量相等的条件，得出P点横纵坐标关系

4自我检测

(1)在△ABC中，EF分别是ABAC的中点，若，，则用基底，表示=

(2)，不共线，，，要使，能作为平面内所有向量的一组基底，则实数的取值范围是

(3)已知=(3，1)，=(1，2)，则32=

(4)已知=(2，1)，=(x，4)，当2与平行时，x＝