江苏省苏州市第五中学高中数学 23数学归纳法学案苏教版选修22.docVIP

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23数学归纳法

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

数学归纳法的原理

了解

借助具体实例了解数学归纳法的原理

数学归纳法的简单应用

理解

理解数学归纳法的一般步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题

二预习指导

1预习目标

了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题

2预习提纲

(1)回顾已学知识,体会合情推理演绎推理以及二者之间的联系与差异,体会数学证明的特点,了解数学证明的基本方法

(2)数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据,你能说出它的两个步骤吗?

(3)结合课本第8687的例1例3,体会用数学归纳法证明命题的2个步骤,解题时缺一不可;结合课本第8890的例4和例5,体会用“归纳猜想证明”的方法处理问题

(4)阅读课本第85至第90内容,并完成课后练习

3典型例题

(1)数学归纳法是以数学归纳法原理为依据的演绎推理,它将一个无穷归纳(完全归纳)的过程,转化为一个有限步骤的演绎过程(递推关系)数学归纳法证明命题的步骤是:

①递推奠基:当n取第一个值n0结论正确;

②递推归纳:假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确;(归纳假设)证明当n=k+1时结论也正确(归纳证明)

由①,②可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确

例1用数学归纳法证明

过程中,

①当n=1时,左边有_____项,右边有_____项;

②当n=k时,左边有_____项,右边有_____项;

③当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项;

④等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?

分析:证明时注意:n取第一个值n0是什么;从n=k到n=k+1时关注项的变化

解:①当n=1时,左边有2_项,右边有__1__项;

②当n=k时,左边有_2k_项,右边有__k_项;

③当n=k+1时,左边有_2(k+1)_项,右边有_k+1_项;

④等式的左边,由n=k到n=k+1时多了两项:;

等式的右边,由n=k到n=k+1时多了两项:,少了一项:

(2)数学归纳法是直接证明的一种重要方法,应用十分广泛,主要体现在与正整数有关的恒等式不等式;数的整除性几何问题;探求数列的通项及前n项和等问题

例2用数学归纳法证明(n∈N*)

分析:用数学归纳法证明问题时,①注意从“n=k到n=k+1”时项的变化;②配凑递推假设;③检验是否用了归纳假设

证明:①当n=1时,,结论成立;

②假设当n=k时结论成立,即

则当n=k+1时,

∴当n=k+1时结论成立

由①,②可知,不等式对于从1开始的所有正整数n都成立

例3已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N都能使m整除f(n),求m的最大值

分析:归纳证明时,利用归纳假设创设递推条件,寻求f(k+1)与f(k)的递推关系,是解题的关键

解:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除

证明①n=1,2时,由上得证;

②假设n=k(k≥2)时,f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,

则n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=(6k+27)·3k+9=(2k+7)·3k+9+(4k+20)·3k

=f(k)+36(k+5)·3k2(k≥2)∴f(k+1)能被36整除;

由①②知f(n)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除,∴所求m的最大值等于36

例4平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成n2n+2个部分

分析:注意从n=k到n=k+1时的变化

解:①当n=1时,平面内1个圆把平面分成2部分,此时n2n+2=2,结论成立;

②假设当n=k时结论成立,即平面内k个圆把平面分成k2k+2个部分,

则当n=k+1时,第k+1个圆与前面k个圆都相交,第k+1个圆被前面k个圆分成2k段弧,每段弧都把原来的平面部分一分为二,因此多了2k个部分,所以平面内k+1个圆把平面分成(k2k+2)+2k=k2+k+2=(k+1)2(k+1)+2个部分,即当n=k+1时结论成立;

由①②可知,平面内n个圆把平面分成n2n+2个部分

(3)解题时我们常常会遇到一类先猜后证的问题,这种问题的解题流程为:归纳→猜想→证明,而证明往往会用数学归纳法猜归法是发现与论证的完美结合

例5①是否存在常数,使得对一切正整数都成立?并证明你的结论;

②是否存在a,b,c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?证明你的结论;

③已知,是否存在关于的整式,使得等式对于大

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