2024高三数学二轮复习 一题多解专题四 利用正（余）弦定理判断三角形形状.docVIP

一题多解专题四：利用正（余）弦定理判断三角形形状

判定三角形形状通常有两种途径：

一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：，等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系如：sinA＝sinB?A＝B；sin(AB)＝0?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A+B＝等；

二是利用正弦定理余弦定理化角为边，如等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断

例：在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a,b,c，若(a+b+c)(a+bc)=3ab，且2cosAsinB=sinC，试判断△ABC的形状

思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系

方法一：由正弦定理得，∵2cosAsinB=sinC，

，由余弦定理的推论得

∴，化简得，∴a=b；

又∵(a+b+c)(a+bc)=3ab，∴，

化简得，∴b=c，∴a=b=c，即△ABC是等边三角形

方法二：∵A+B+C=π，∴sinC=sin(A+B)，又2cosAsinB=sinC，

∴2cosAsinB=sin(A+B)，∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinAcosBcosAsinB=0，∴sin(AB)=0，

∵A,B∈(0,π)，∴AB∈(π,π)，∴A=B，

又∵(a+b+c)(a+bc)=3ab，

∴，即，

由余弦定理的推论得

又C∈(0,π)，，又A=B，∴△ABC是等边三角形

规律总结：应用正弦定理进行判断或证明的方法：

①判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系；

②利用正弦定理化边为角或化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或三角具有的关系；

③判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形等边三角形直角三角形或等腰直角三角形

针对性练习：

1在△ABC中，若a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状

【解析】法一：由正弦定理及已知，得sin2A·=sin2B·，

即sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B

∵02A,2B2π，2A+2B2π；∴2A=2B或2A=π2B即A=B或A+B=

所以，三角形ABC是等腰三角形或直角三角形

法二：在得到sin2A=sin2B后，也可以化为sin2Asin2B=0，

∴2cos(A+B)sin(AB)=0，∴cos(A+B)=0或sin(AB)=0

∵0A+Bπ，且πABπ，∴A+B=或AB=0，

即A+B=或A=B∴△ABC是等腰三角形或直角三角形

2在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状

【解析】方法一：由正弦定理，得2sinB=sinA+sinC

∵B＝60°，∴A+C＝120°,即A＝120°C，

代入上式，得2sin60°=sin(120°C)+sinC展开，整理得：

∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°，

∴C＝60°，故A＝60°，∴△ABC为正三角形

方法二：由余弦定理，得，

∵B=60°,，，

整理，得，∴a=c从而a＝b＝c，∴△ABC为正三角形