2024高中数学 11变化率与导数要点讲解 新人教A版选修22 .docVIP

变化率与导数要点讲解

一求导的基本方法——导数极限定义

函数y=f(x)在点x0的导数，正好就等于函数曲线在点M（x0，f（x0））的切线斜率

我们看看这个结论是如何得出的

右边这个图，在x0右边距离为△x的地方另取

一点，那么曲线上相应的点M1的坐标为（x0+△x，f（x0+△x）），我们将点M和M1连起来，得到一条直线，我们称之为“割线”，显然它不是我们所要的切线

这条割线的斜率是多少呢？

割线MM1的斜率=

请注意，如果这时我们沿着曲线f（x）移动点M1，使它逐渐接近点M（也就是让△x缩小，最后变成0），割线MM1就会逐步移动，渐渐靠近切线MT，向切线MT逼近

从图中可以看出，当M1沿着曲线逐渐向M靠拢时，MM1的斜率也会向MT的斜率逐渐靠近

我们可以把上面这句话写成：当△x→0，MM1的斜率→MT的斜率用式子表示：

切线MT的斜率=

这就是导数的定义

△x中在x前面的那个三角形，是一个大写希腊字母，读作delta，相当于英文字母的D据说牛顿年轻的时候，由于先天有某种障碍缺陷，无法精通某种秘密的握手方式，结果不幸因此被一个名称中带△的兄弟会拒绝了他的入会申请当时他当然非常失望，他后来幽默地用了这个让他毕生最伤心的字母，作为他一生最伟大的成就（微积分）的基石他用△x这个符号，来代表x的微小变化

导数的定义还可以有其他形式，比如用h替代△x：

还可以用x替代x0，得到：

我们假设，这样，当△x→0，就相当于x→x0，可以把式子改写成：

从外表看，似乎跟原来的定义不一样了，但实质是一回事

什么时候我们会用到导数的极限定义去计算导数呢？只有在考核对导数定义的理解时才会遇到，平时是不会用到的

二导数几何意义的应用

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点导数几何意义的应用涉及如下几类问题

一切线的夹角问题

例1已知抛物线y＝x24与直线y＝x＋2相交于AB两点，过AB两点的切线分别为l1和l2(1)求直线l1与l2的夹角

解析：由方程组eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(y＝x24,y＝x＋2)，解得A(2，0)，B(3，5)，

由y?＝2x，则y?|x＝2＝4，y?|x＝3＝6，设两直线的夹角为θ，

根据两直线的夹角公式，tanθ＝|eq\f(46,1＋(4)×6)|＝eq\f(10,23),所以θ＝arctaneq\f(10,23)

点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号)

二两条曲线的公切线问题

例2已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝x2＋a如果直线l同时是C1和C2的切线，称直线l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分

解析：(1)函数y＝x2＋2x的导数y?＝2x＋2，曲线C1在点P(x1，xeq\o(2,1)＋2x1)处的切线方程是

y(xeq\o(2,1)＋2x1)＝(2x1＋2)(xx1)，即y＝(2x1＋2)xxeq\o(2,1)…①，

函数y＝x2＋a的导数y?＝2x，曲线C2在点Q(x2，xeq\o(2,2)＋a)处的切线方程是

y(xeq\o(2,2)＋a)＝2x2(xx2)，即y＝2x2x＋xeq\o(2,2)＋a，…②

如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是直线l的方程，

所以eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x1＋1＝x2,xeq\o(2,1)＝xeq\o(2,2)＋a)，消去x2得方程2xeq\o(2,1)＋2x1＋1＋a＝0

当判别式△＝44×2(1＋a)＝0时，即a＝eq\f(1,2)时，解得x1＝eq\f(1,2)，此时点P和Q重合，

即当a＝eq\f(1,2)时，C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线的方程为y＝xeq\f(1,4)

（Ⅱ）证明：略

点拨：解答此类问题分三步：第一步分别在两条曲线设出切点，并求出切线方程；第二步根据两个切线方程表示同切线，利用直线重合的条件建立一个二次方程；第三步根据切线的唯一性，结合判别式为零求出结果