2024高中数学 222向量减法运算及其几何意义学案 新人教A版必修4.docVIP

2024高中数学222向量减法运算及其几何意义学案新人教A版必修4

学习目标:1理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则

2掌握向量减法的几何意义

3能熟练地进行向量的加减运算

学习重点：理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则

学习难点：能熟练地进行向量的加减运算

一知识导学

1我们把与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作____，并且有a＋(a)＝__

2向量减法的定义

若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的，记为_____，求两个向量差的运算，叫做

3向量减法的平行四边形法则

以向量eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b为邻边作，则对角线的向量eq\o(BD,\s\up16(→))＝ba，eq\o(DB,\s\up16(→))＝ab

4向量减法的三角形法则

在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up16(→))＝ab，即ab表示从向量的终点指向向量的终点的向量

二探究与发现

【探究点一】向量的减法

对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：

对

比

项

实数的减法

向量的减法

对

比

内

容

(1)相反数绝对值相等，符号相反的两个数，互为相反数

(1)相反向量

的两个向量，互为相反向量

(2)零的相反数是零

(2)

(3)互为相反数的和是零

(3)

(4)实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数

(4)向量的减法：减去一个向量相当于

根据相反向量的含义，完成下列结论：

(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＝___；(2)(a)＝__；

(3)0＝__；(4)a＋(a)＝__；

(5)若a与b互为相反向量，则有：

a＝____，b＝____，a＋b＝__

【探究点二】向量减法的三角形法则

(1)由于ab＝a＋(b)因此要作出a与b的差向量ab，可以转化为作a与b的和向量已知向量a，b如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量ab

(2)当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量ab可以通过下面的作法得到：

①连接两个向量(a与b)的终点；

②差向量ab的方向是指向被减向量的终点

这种求差向量ab的方法叫向量减法的三角形法则概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量ab

【探究点三】|ab|与|a||b|之间的关系

(1)若a与b共线，怎样作出ab?

(2)通过上面的作图，探究|ab|与|a|，|b|之间的大小关系：

当a与b不共线时，有：_____________________；

当a与b同向且|a|≥|b|时，有：_______________；

当a与b同向且|a|≤|b|时，有：_______________

【典型例题】

例1如图所示，已知向量abcd，求作向量ab，cd

跟踪训练1如图所示，在正五边形ABCDE中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝m，eq\o(BC,\s\up16(→))＝n，eq\o(CD,\s\up16(→))＝p，eq\o(DE,\s\up16(→))＝q，eq\o(EA,\s\up16(→))＝r，求作向量mp＋nqr

例2化简下列式子：

(1)eq\o(NQ,\s\up16(→))eq\o(PQ,\s\up16(→))eq\o(NM,\s\up16(→))eq\o(MP,\s\up16(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up16(→))eq\o(CD,\s\up16(→)))(eq\o(AC,\s\up16(→))eq\o(BD,\s\up16(→)))

跟踪训练2化简：(1)(eq\o(BA,\s\up16(→))eq\o(BC,\s\up16(→)))(eq\o(ED,\s\up16(→))eq\o(EC,\s\up16(→)))；

(2)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→)))(eq\o(DC,\s\up16(→))eq\o(DO,\s\up16(→))eq\o(OB,\s\up16(→)))

例3若eq\o(AC,\s\up16(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up