2025高考数学一轮复习题组层级快练58含答案.docVIP

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题组层级快练(五十八)

一、单项选择题

1．已知直线l：kx＋y＋1＝0，椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，则直线l与椭圆C的位置关系是()

A．相离 B．相切

C．相交 D．无法确定

答案C

解析由题知直线l过定点(0，－1)，该点在椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1内部．故选C.

2．过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点F2作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()

A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)

C.eq\f(5,4) D.eq\f(10,3)

答案B

解析由题知直线方程为y＝2(x－1)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x2＋5y2＝20，,y＝2（x－1），))解方程组得交点坐标为(0，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·|OF2|·|yA－yB|＝eq\f(5,3).

3．已知直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1截得弦长的最大值是()

A．2 B.eq\f(4\r(3),3)

C．4 D．不能确定

答案B

解析直线所过的定点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，x∈[－2，2]，y∈[－1，1)，

则弦长为eq\r(x2＋（y－1）2)＝eq\r(4－4y2＋y2－2y＋1)

＝eq\r(－3y2－2y＋5)，

当y＝－eq\f(1,3)时，弦长最大为eq\f(4\r(3),3).

4．(2024·沧州质检)椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1中，以点(2，1)为中点的弦所在直线的斜率为()

A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(9,8)

C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(8,9)

答案A

解析设以点M(2，1)为中点的弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x12,16)＋\f(y12,12)＝1，,\f(x22,16)＋\f(y22,12)＝1，))两式相减可得eq\f(x12－x22,16)＝－eq\f(y12－y22,12)，变形可得eq\f(（x1－x2）（x1＋x2）,16)＝－eq\f(（y1－y2）（y1＋y2）,12)，又由点M(2，1)为AB的中点，则有x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，则有eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(3,2)，即以点M(2，1)为中点的弦所在直线斜率为－eq\f(3,2)，故选A.

5．已知F1，F2是椭圆G：eq\f(x2,52)＋eq\f(y2,42)＝1的左、右焦点，过F1作直线l交G于A，B两点，若|AB|＝eq\f(32,5)，则△F2AB的面积为()

A.eq\f(24,5) B.eq\f(48,5)

C.eq\f(96,5) D.eq\f(16\r(41),5)

答案C

解析由G：eq\f(x2,52)＋eq\f(y2,42)＝1知c2＝52－42＝32，所以F1(－3，0)，把x＝－3代入椭圆方程可得y2＝eq\f(44,25)，故y＝±eq\f(16,5)，又|AB|＝eq\f(32,5)，所以AB⊥x轴，则S△F2AB＝eq\f(1,2)|AB|×2c＝eq\f(1,2)×eq\f(32,5)×6＝eq\f(96,5).故选C.

6．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋eq\r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()

A．3eq\r(2) B．2eq\r(6)

C．2eq\r(7) D．4eq\r(2)

答案C

解析设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m0，n0)．

由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx2＋ny2＝1，,x＋\r(3)y＋4＝0，))消去x，

得(3m＋n)y2＋8eq\r(3)my＋16m－1＝0，

由Δ＝192m2－4(16m－1)(3m＋n)＝0，

得3m＋n＝16mn，即eq\f(3,n)＋eq\f(1,m)＝16.①

又c＝2，焦点在x轴上，所以eq\f(1,m)－eq\f(1,n)＝4.②

由①②解得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(1,3).

则长轴长为2eq\r(7).故选C.

7．(