2025高考数学一轮复习题组层级快练59含答案.docVIP

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题组层级快练(五十九)

一、单项选择题

1．已知双曲线eq\f(x3,a－3)＋eq\f(y2,2－a)＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()

A.eq\f(3,2) B．5

C．7 D.eq\f(1,2)

答案D

解析根据题意可知，双曲线的标准方程为eq\f(y2,2－a)－eq\f(x2,3－a)＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝eq\f(1,2).故选D.

2．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6eq\r(2)，则该双曲线的实轴长为()

A．3 B．6

C．9 D．12

答案B

解析双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，∵两条渐近线互相垂直，∴eq\f(b,a)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))＝－1，∴a2＝b2，∵焦距为6eq\r(2)，∴2c＝6eq\r(2)，∴c＝3eq\r(2)，∴a2＝18－a2，∴a2＝9，∴a＝3，∴双曲线的实轴长为6.故选B.

3．(2023·常德市模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的焦点F到渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线C的离心率为()

A.eq\r(5) B.eq\r(2)

C.eq\f(\r(7),2) D.eq\f(\r(5),2)

答案A

4．已知双曲线C的一个焦点为(0，5)，且与双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为()

A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B．y2－eq\f(x2,4)＝1

C.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(y2,5)－eq\f(x2,20)＝1

答案D

5．(2023·南通四模)古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如下性质：A，B分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的左、右顶点，从C上一点P(异于A，B)向实轴引垂线，垂足为Q，则eq\f(|PQ|2,|AQ|·|QB|)为常数．若C的离心率为2，则该常数为()

A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(3)

C.eq\f(1,3) D．3

答案D

解析设P(x1，y1)，则Q(x1，0)(x1≠±a)．∵点P在双曲线C上，∴y12＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x12,a2)－1))＝eq\f(b2,a2)x12－b2.

由题意知A(－a，0)，B(a，0)，则eq\f(|PQ|2,|AQ|·|QB|)＝eq\f(y12,|x1＋a|·|x1－a|)＝eq\f(\f(b2,a2)（x12－a2）,x12－a2)＝eq\f(b2,a2)，∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝4，∴eq\f(b2,a2)＝3.

6．(2024·漳州市质检)伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为eq\f(\r(5),2)的双曲线C：eq\f(y2,a2)－x2＝1(a0)上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则|PF|与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为()

A．2 B．3

C．4 D．5

答案D

7．已知F1，F2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为(0，b)，则双曲线C的一条渐近线的斜率为()

A．2 B.eq\r(5)

C.eq\r(2) D.eq\r(3)

答案A

解析设线段PF1的中点为M，坐标原点为O，连接PF2.∵线段PF1的中点M的坐标为(0，b)，∴点P在双曲线C的右支上．∵原点O为线段F1F2的中点，∴OM綉eq\f(1,2)PF2，则PF2⊥F1F2，|PF2|＝2|OM|＝2b.由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF1|＝2a＋2b.在Rt△F1F2P中，|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即(2a＋2b)2＝(2b)2＋(2c)2，整理得