2025高考数学一轮复习题组层级快练60含答案.docVIP

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题组层级快练(六十)

一、单项选择题

1．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离是()

A．2 B．1

C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)

答案D

解析抛物线标准方程x2＝2py(p0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，又p＝eq\f(1,4)，故选D.

2．过点F(0，3)且与直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()

A．y2＝12x B．y2＝－12x

C．x2＝－12y D．x2＝12y

答案D

解析由题意，得动圆的圆心到直线y＝－3的距离与到点F(0，3)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F(0，3)为焦点、直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.

3．已知抛物线x2＝2py(p0)上的一点M(x0，1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()

A．6 B．4

C．3 D．2

答案D

解析由题可知，1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2.

4．已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()

A．x2＝eq\f(8\r(3),3)y B．x2＝eq\f(16\r(3),3)y

C．x2＝8y D．x2＝16y

答案D

解析由e2＝1＋eq\f(b2,a2)＝4得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，即eq\r(3)x±y＝0，

抛物线C2的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，则有eq\f(\f(p,2),2)＝2，解得p＝8，故抛物线C2的方程为x2＝16y.

5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，P是抛物线上一点，若|PF|＝5，则△PKF的面积为()

A．4 B．5

C．8 D．10

答案A

解析由抛物线y2＝4x，知eq\f(p,2)＝1，则焦点F(1，0)．设点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y02,4)，y0))，则由|PF|＝5，得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y02,4)－1))\s\up12(2)＋y02)＝5，解得y0＝±4，所以S△PKF＝eq\f(1,2)×p×|y0|＝eq\f(1,2)×2×4＝4.故选A.

6．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，则|PQ|＋|PF|的最小值为()

A．4 B．6

C．8 D．10

答案C

解析如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，连接PC，则|PF|＝|PA|，当CP垂直于抛物线的准线时，|CP|＋|PA|最小，此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C(6，2)，半径为2，所以|PQ|＋|PF|的最小值为|AQ|＝|CA|－2＝10－2＝8.

7.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．如图为一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为()

A．2eq\r(6)m B．4eq\r(6)m

C．4eq\r(2)m D．12m

答案B

解析根据题意，以拱顶为原点，拱顶所在水平直线为x轴，拱顶所在竖直直线为y轴建系，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，又由当水面离拱顶2m时，水面宽8m，即点(4，－2)和(－4，－2)在抛物线上，则有16＝－2p(－2)，解得p＝4，故抛物线的方程为x2＝－8y，若水面下降1m，即y＝－3，则有x2＝24，解得x＝±2eq\r(6)，此时水面宽度为2eq\r(6)－(－2eq\r(6))＝4eq\r(6)(m)．故选B.

8．已知抛物线C：y＝eq\f(1,8)x2，点P为抛物线C上一动点，A(0，2)，B(4，5)，O为坐标原点，当|PA|＋|PB|取得最小值时，四边形OABP的面积为()

A．18 B．14

C．10 D．6

答案C

解析由题意，抛物线C：x2＝8y，可得点A(0，2)为其焦点，准线方程为y＝－2，易知点B在抛物线内，设点P到准线的距离为d，作BM垂直于准线，垂足为M，则|PA|＋|PB|＝|PB|＋d≥|BM|＝7，即当P，B，M三点共线时，|PA|＋|P