2025高考数学一轮复习题组层级快练32含答案.doc

PAGE1/NUMPAGES5

题组层级快练(三十二)

1．(2024·湖北黄石一中开学考试)在△ABC中，D是边BC上一点，AD＝5，AC＝7.

(1)若DC＝3，B＝45°，求AB；

(2)若D为BC中点，且AB＝eq\r(19)，证明：∠ADC＝2∠ADB.

答案(1)eq\f(5\r(6),2)(2)证明见解析

解析(1)在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(9＋25－49,2×3×5)＝－eq\f(1,2)，

所以∠ADC＝120°.即∠ADB＝60°.

在△ABD中，AD＝5，B＝45°，∠ADB＝60°，

由正弦定理，得eq\f(5,sin45°)＝eq\f(AB,sin60°)，解得AB＝eq\f(5\r(6),2).

(2)证明：设BD＝DC＝x.

在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB＝eq\f(x2＋25－19,2×x×5)，

在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(x2＋25－49,2×x×5).

因为∠ADC＋∠ADB＝180°，所以eq\f(x2＋25－19,2×x×5)＋eq\f(x2＋25－49,2×x×5)＝0，解得x＝3，

所以cos∠ADC＝eq\f(9＋25－49,2×3×5)＝－eq\f(1,2)，所以∠ADC＝120°，从而∠ADB＝60°，故∠ADC＝2∠ADB.

2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.

(1)若△CDE的面积为eq\f(\r(3),2)，求DE的长；

(2)若eq\r(7)CF＝4DF，求sin∠DFC.

答案(1)eq\r(3)(2)eq\f(3\r(21),14)

解析(1)由已知，∠BCD＝∠DAB＝60°.

因为△CDE的面积

S＝eq\f(1,2)CD·CE·sin∠BCD＝eq\f(\r(3),2)，

所以eq\f(1,2)×2CE×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，解得CE＝1.

在△CDE中，由余弦定理，

得DE＝eq\r(CD2＋CE2－2CD·CEcos∠BCD)

＝eq\r(22＋12－2×2×1×\f(1,2))＝eq\r(3).

(2)连接BD，由已知得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，

设∠CDE＝θ，则0°θ60°.

在△CDF中，由正弦定理，得eq\f(CF,sinθ)＝eq\f(DF,sin∠ACD)，

又因为eq\r(7)CF＝4DF，所以sinθ＝eq\f(CF,2DF)＝eq\f(2,\r(7))，

所以cosθ＝eq\f(\r(3),\r(7))，所以sin∠DFC＝sin(30°＋θ)＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),\r(7))＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,\r(7))＝eq\f(3\r(21),14).

3.如图，平面四边形ABCD的顶点均在圆O上，∠D＝eq\f(2π,3)，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(sinA－sinC)sinA＋sin2C＝sin2B，a＝2，b＝3.

(1)求sin∠ACB；

(2)求△ACD的面积的最大值．

答案(1)eq\f(\r(3)＋3\r(2),6)(2)eq\f(3\r(3),4)

解析(1)已知在△ABC中，(sinA－sinC)sinA＋sin2C＝sin2B，由正弦定理得(a－c)a＋c2＝b2，化简得a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，∵0Bπ，∴B＝eq\f(π,3).

在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(2,sinA)＝eq\f(3,sin\f(π,3))，解得sinA＝eq\f(2sin\f(π,3),3)＝eq\f(\r(3),3)，

∵ab，∴AB，∴cosA＝eq\f(\r(6),3).

∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，

∴sin∠ACB＝sin(A＋B)＝eq\f(1,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(3)＋3\r(2),6).

(2)设AD＝m，CD＝n，由余弦定理得AC2＝m2＋n2－2mncoseq\f(2π,3)，即9＝m2＋n2＋mn，

∵m2＋n2≥2mn，∴9＝m2＋n2＋mn≥3mn，当且