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压轴专题05平面向量综合问题小题综合

一、单选题

1．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】借助单位圆建立直角坐标系，用向量数量积的坐标运算求最大值.

【详解】知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，

，为O为原点，OA为x轴建立如图所示的直角坐标系：

则，，设，则有，

，，

，，

化简得，由，当时，有最大值6.

故选：C

【点睛】数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.

2．（2022秋·山东日照·高三统考期中）已知平面向量，，满足⊥，且，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立直角坐标系，进而可得点C的轨迹，然后根据三角形相似将转为求线段和最短，然后根据数形结合即得.

【详解】设，，

则，，

即C在以为圆心，2为半径的圆上，

如图，取，则，又，

所以有～，所以，

又因为，，

所以．

故选：B.

3．（2022秋·广东韶关·高三校考阶段练习）中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（）

A．0 B．1 C．3 D．5

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出的最大值即可计算作答.

【详解】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，

在中，，则，即，

，同理，

因此，

，

由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，

所以的最大值为3.

故选：C

【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

4．（2022春·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先解三角形得到为直角三角形，建立直角坐标系，通过表示出，借助三角函数求出最小值.

【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立．

故选：B．

5．（2022秋·广东清远·高三校考阶段练习）如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，又且且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值.

【详解】在等腰△中，，则，

∵分别是边的点，

∴，，而，

∴两边平方得：，而，

∴，又，即，

∴当时，最小值为，即的最小值为.

故选：C

【点睛】关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于的二次函数，求最值.

6．（2022·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）??是等腰直角三角形（）内的点，且满足，，，则下列说法正确的是（????）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】根据题意画出图形，结合图形分别计算，和的值，再比较大小

【详解】

(正弦定理)

在的角平分线上,同理可证在的角平分线上,

为内心

如图所示

由知,这三个角都是

且在的平分线上,延长交于点

取,则,

得,

所以

记的周长为

由题意知是的内心,内切圆半径

所以

由,且

则

所以,即,则在以为直径的圆上

由,且

所以,得

由,得

所以

设,在中由余弦定理得

解得

所以

所以

故选:C

7．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.

【详解】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系.

因为，而,所以，

在直角中，因为，，所以，，

则，设，

所以，

所以，

因为二次函数开口向上，对称轴为，且，

所以当时，取最小值，当时，取最大值，

所以的取值范围是.

故选：C

8．（2023·福建厦门·统考二模）圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把转化为，由余弦定理、数量积的定义得，讨论的位置得，结合锐角三角形恒成立，即