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压轴专题08等式与不等式综合问题小题综合

一、单选题

1．（2022秋·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）已知正实数满足，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】A中，根据等式分离与，根据，可求得的范围；

B中，假设，根据数形结合，可得出有解；

C中，判断有无解即可，同样可以由数形结合得到；

D中，构造函数，由单调性即可判断.

【详解】因为，所以，故，即，故选项A错误；

若，则，作出函数与的图象如图所示：

显然有交点，则方程有解，故选项B错误；

若，则0，即，作出函数与的图象如图所示：

显然无交点，则方程无解，故选项C错误；

因为，则，

且，令，则，

所以在区间上单调递增，所以，即，

因此，故选项D正确.

故选：D

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

2．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．4 D．

【答案】B

【分析】将已知的式子，然后判断函数，，的单调性，从而可得，即，再利用基本不等式可求得结果

【详解】因为，

所以．

设，，易知在上单调递增，

故，即，又，，所以，

当且仅当时取等号，

所以的最小值为2．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题

3．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知，，且，则的最小值为（????）

A．10 B．9 C． D．

【答案】C

【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值.

【详解】由已知，令，，

所以，，代入得：，

因为，，

所以

.

当且仅当时，即时等号成立.

的最小值为.

故选：C.

4．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．4 D．

【答案】B

【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出之间的关系可求.

【详解】，

故函数关于对称，又在上严格递减；

即

当且仅当时取得.

故选：B.

5．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）若，且，则（????）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最小值为16 D．没有最小值

【答案】A

【分析】先将题意整理成，然后利用基本不等式可得到，最后检验是否成立即可

【详解】由，得.

因为，所以

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

由得,

设函数，

则由，得在上至少一个零点，

此时，故存在，使得不等式中的等号成立，

故的最小值为.

故选：A

【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验是否成立，需要构造，并结合零点存在定理进行验证

6．（2022秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考开学考试）已知，则取到最小值时，的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据对数的定义域求得的取值范围.结合对数运算,可求得等量关系,变形后结合基本不等式可求得取到最小值的值,即可求得的值.

【详解】根据对数定义域可知,则

由对数运算,化简

可得,即

化简可得,则

所以

当且仅当时取等号,此时

即,解得

所以

故选：B

【点睛】关键点点睛：化简对数式后可得，继续变形得，转化为等式一边为1可得，再根据“1”的变形使用结合均值不等式求解，属于较难题目.

7．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.

【详解】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，

当时，，此时；

，故；

，；

当时，，此时，，故；

，；

故ABC均错误；

D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，

设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论