高二数学上学期期中模拟卷02（解析版）.docx

2023-2024学年高二数学上学期期中考试

（考试时间：120分钟试卷满分：150分范围：选修一第一、二章+椭圆双曲线）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．设，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解.

【详解】由得，

因此直线过定点，且斜率，

如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意．

??

易得，．

结合图形知或，解得或，

即的取值范围是．

故选：C

2．已知，，，若，，共面，则等于（????）

A． B．9 C． D．3

【答案】A

【分析】由，，共面，设，根据条件列出方程组即可求出λ的值．

【详解】因为，，共面，设，

又，，，得到，

所以，解得，

故选：A.

3．已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量对应线段的空间关系，应用向量加法法则用，，表示出即可.

【详解】由图知：

.

故选：A

4．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以的中点，半径的圆，结合圆的性质运算求解.

【详解】因为直线：，即，

令，解得，可知直线过定点，

同理可知：直线过定点，

又因为，可知，

所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，

因为圆的圆心，半径，

所以的最大值是.

故选：B.

5．若圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则（???）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先把圆的方程整理为标准方程，然后根据圆的性质得到关于t的方程，解方程即可.

【详解】将圆化为标准方程得，

故圆的圆心坐标为，半径.

由圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，

知圆心到直线的距离，

解得.

故选：A.

6．已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（??）

A．12， B．，

C．12，8 D．9，

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式求解即可.

【详解】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知，

??

显然点在椭圆内，，直线交椭圆于，

而，即，当且仅当点共线时取等号，

当点与重合时，，则，

当点与重合时，，则，

所以的最大值和最小值为12，8.

故选：C

7．已知正方体的内切球的表面积为，是棱上一动点，当直线与平面的夹角最大时，四面体的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量法及函数思想，求出点位置，再利用向量法求解点面距，最后即可计算四面体的体积．

【详解】解：建系如图，

??

正方体的内切球的表面积为，则内切球半径，

易得正方体的棱长为1，

，0，，，1，，，1，，设，0，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则，取，

直线与平面的夹角的正弦值为：

，

令，，，，，

，

令，，，，，

，，，

当，即，即时，直线与平面的夹角的正弦值取得最大值，

此时直线与平面的夹角也最大，

当直线与平面的夹角最大时，为棱的中点，

此时平面的法向量，又，

点到平面的距离为，

此时，，则△的面积为，

此时四面体的体积，

故选：．

【点睛】关键点点睛：向量法求解线面角问题，函数思想，化归转化思想，向量法求解点面距问题.解题的关键是建立空间直角坐标系，确定点的位置是为棱的中点，然后利用点面距的向量求法，求出四面体的高．

8．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，令且，，则，根据题设有、、，进而有，将它们整理为关于的齐次方程求离心率即可.

【详解】由题设，令且，，则，且①，

??

由，即②，

由，即，

又C在双曲线上，则③，

由①得：，代入③并整理得：，

由①②及得：，

所以，即，

显然，则.

故选：B

【点睛】关键点点睛：设且，，结合已知得到关于的齐次方程为关键.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出