2024-2025学年初中数学九年级下册（人教版）同步讲练 专题提升 相似三角形的判定与性质（30题）（解析版）.docx

专题提升相似三角形的判定与性质（30题）

1．（2023?东莞市校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE＝BC，连接AE，AE与CD交于点F．

（1）求证：△ADF∽△ECF；

（2）求DF的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得出AD∥BE，从而得出∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，即证明△ADF∽△ECF；

（2）由平行四边形的性质可得出AD＝BC，AB＝CD＝8，即得出，再根据相似三角形的性质可得出，即，最后结合CD＝DF+CF，即可求出DF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，即AD∥BE，

∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，

∴△ADF∽△ECF；

（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC，AB＝CD＝8，

∴，即．

∵△ADF∽△ECF，

∴，即．

∵CD＝DF+CF，

∴．

2．（2022秋?细河区期末）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．

（1）求证：△ADE∽△DBE；

（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．

【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可证得△ADE∽△DBE；

（2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可．

【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，

∵∠EDB＝∠C，

∴∠A＝∠EDB，

又∠E＝∠E，

∴△ADE∽△DBE；

（2）平行四边形ABCD中，DC＝AB，

由（1）得△ADE∽△DBE，

∴，

∵DC＝7cm，BE＝9cm，

∴AB＝7cm，AE＝16cm，

∴DE＝12cm．

3．（2023秋?高新区校级期中）如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点E．

（1）求证：；

（2）若AB＝4，BC＝6，求AF的长．

【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，可得∠BAE＝∠ADF，推导出△ADF∽△EAB，即可证明结论；

（2）E为BC的中点，根据勾股定理可得AE＝5，再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得AF的长即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，

∴∠B＝∠AFD＝90°，

∴∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠ADF＝90°，

∴∠BAE＝∠ADF，

∴△ADF∽△EAB，

∴＝．

（2）解：∵E为BC的中点，

∴BE＝BC＝3，

在Rt△ABE中，AE＝＝＝5．

∵＝，

∴＝，

∴AF＝．

4．（2023秋?丰泽区校级期中）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：

（1）如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP＝∠B，求证：△ACP∽△ABC；

（2）如图2，已知∠A＝81°，AC2＝AB?AD，BC＝BD，求∠ABC的度数．

【分析】（1）根据∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC即可得出结论；

（2）先由AC2＝AB?AD得AD：AC＝AC：AB，再根据∠CAB＝∠DAC可判定△ACB和△ADC相似，进而得∠ACB＝∠D，然后由BC＝BD得∠BCD＝∠D，据此可得出∠ACD＝2∠D，然后利用三角形的内角和定理可求出∠D＝40°，进而可求出∠ABC的度数．

【解答】（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC，

∴△ACP∽△ABC；

（2）解：∵AC2＝AB?AD，

∴AD：AC＝AC：AB，

又∵∠CAB＝∠DAC，

∴△ACB∽△ADC，

∴∠ACB＝∠D，

∵BC＝BD，

∴∠BCD＝∠D，

∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝2∠D，

∵∠ACD+∠D+∠A＝180°，∠A＝81°，

∴2∠D+∠D+81°＝180°，

∴∠D＝33°，

∴∠BCD＝∠D＝33°，

∴∠ABC＝∠BCD+∠D＝66°．

5．（2023秋?武侯区校级期中）如图，?ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形：

（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．

【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；

（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．

【解答】（1）证明：∵CF＝BE，

∴CF+EC＝BE+EC．

即EF＝BC．

在?ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，

∴AD∥EF且AD＝EF．

∴四边形AEFD是平行四边形．

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°．

∴四边形AEFD是矩形；

（2）解：∵四边形AEFD是矩形，

∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，

∴∠EAC+∠ECA＝90°，

∵∠ACD＝90°，

∴∠ECA+∠DCF＝90°，