2024-2025学年初中数学八年级上册（人教版）同步讲练 第03讲 角平分线的性质（原卷版）.docx

第03讲角平分线的性质

课程标准

学习目标

①角平分线的定义

②角平分线的性质

③角平分线的尺规作图

掌握角平分的定义以及基本性质。

掌握角平分线的性质并能够证明。

掌握角平分线尺规作图的基本原理，并能够利用直尺和圆规进行角平分线作图。

知识点01角平分线的定义及其性质

角平分线的定义：

角的内部把角分成两个的角的射线这是个角的角平分线。

角平分线的性质：

性质1：平分角。

即若OC是∠AOB的平分线，则。且他们都等于∠AOB的。

性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离。

即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有。

题型考点：①利用角平分线的性质求线段长度或距离。②利用角平分线的性质求面积。

【即学即练1】

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【即学即练2】

2．如图，AB∥CD，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与直线AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（）

A．8 B．6 C．4 D．2

【即学即练3】

3．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（）

A．4 B．6 C．8 D．10

【即学即练4】

4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（）

A．60 B．30 C．15 D．10

知识点02角平分线的尺规作图

作已知角的角平分线：

步骤一：以为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。

步骤二：以为圆心，MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。

步骤三：连接OP即为角平分线

步骤一步骤二步骤三

证明上图中的OP是角平分线：

连接MP，NP

由作图过程可知，OMON，MPNP。

在△OMP与△ONP中

∴△OMP≌△ONP

∴∠MOP＝∴OP是∠AOB的角平分线。

题型考点：①尺规作图为角平分线的依据。②尺规作图后的有关计算。③作图及其实际应用。

【即学即练1】

5．数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹．学生小敏的作法是：如图，∠AOB是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OB分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于MN的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是∠AOB的角平分线．小敏作图的依据是（）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

【即学即练2】

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（）

A．12 B．18 C．24 D．36

【即学即练3】

7．如图，l1、l2交于A点，请确定M点，使它到l1、l2的距离相等．（用直尺和圆规）

【即学即练4】

8．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．

（1）如果要求油库到两条公路AB，AC的距离都相等，那么如何选择油库的位置？

（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？

知识点03角平分线的判定

角平分线的判定的内容：

角的内部到角两边距离相等的点一定在上。

数学语言：

点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的上。

即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD

∴∠AOC＝∠BOC

题型考点：角平分线的判定证明。

【即学即练1】

9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线．

【即学即练2】

10．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF

求证：AD平分∠BAC．

知识点04三角形的角平分线性质

三角形角平分线的性质：

三角形一个角的角平分线分得的两个三角形的面积比等