2024-2025学年初中数学八年级上册（人教版）同步讲练 第05讲 因式分解—公式法与十字相乘法（解析版）.docx

第05讲因式分解—公式法与十字相乘法

课程标准

学习目标

①公式法

②十字相乘法

掌握公式法，并且能够熟练的应用公式法进行因式分解。

掌握十字相乘法分解因式，并且能够熟练运用十字相乘法。

知识点01平方差公式分解因式

平方差公式分解因式的内容：

两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差。

即：

式子特点分析与因式分解结果：

①式子特点分析：式子是一个二项式，符号相反且都可以写成平方的形式。

②因式分解结果：等于写成平方形式时的底数的和乘以底数的差。

考点题型：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。

【即学即练1】

1．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（）

A．x2﹣25 B．x3﹣4 C．x2﹣2x+1 D．x2+1

【解答】解：A、原式＝（x+5）（x﹣5），符合题意；

B、原式不能分解，不符合题意，不符合题意；

C、原式＝（x﹣1）2，不符合题意；

D、原式不能分解，不符合题意．

故选：A．

【即学即练2】

2．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（）

A．﹣m2+n2 B．﹣m2﹣n2 C．4m2﹣1 D．（m+n）2﹣9

【解答】解：A、﹣m2+n2＝n2﹣m2＝（n+m）（n﹣m），故A不符合题意；

B、﹣m2﹣n2，不能用平方差公式分解，故B符合题意；

C、4m2﹣1＝（2m+1）（2m﹣1），故C不符合题意；

D、（m+n）2﹣9＝（m+n+3）（m+n﹣3），故D不符合题意；

故选：B．

【即学即练3】

3．把下列各式因式分解：

（1）x2﹣25y2．

（2）﹣4m2+25n2．

（3）（a+b）2﹣4a2．

（4）a4﹣1．

（5）9（m+n）2﹣（m﹣n）2．

（6）mx2﹣4my2．

【解答】解：（1）原式＝（x+5y）（x﹣5y）；

（2）原式＝（5n﹣2m）（5n+2m）；

（3）原式＝（a+b﹣2a）（a+b+2a）

＝（b﹣a）（3a+b）；

（4）原式＝（a2+1）（a2﹣1）

＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）；

（5）原式＝（3m+3n﹣m+n）（3m+3n+m﹣n）

＝（2m+4n）（4m+2n）

＝4（m+2n）（2m+n）；

（6）原式＝m（x2﹣4y2）

＝m（x﹣2y）（x+2y）．

知识点02完全平方公式分解因式

完全平方公式分解因式的内容：

。

式子特点分析与因式分解结果：

①式子特点分析：式子是一个三项式，其中两项符号相同且都能写成平方的形式，第三项是平方两项底数乘积的两倍。

②因式分解结果：等于底数和的平方或底数差的平方。若第三项与平方两项符号相同，则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号相反，则等于底数差的平方。若平方两项是符号，则在括号前添加负号。

题型考点：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。③求值

【即学即练1】

4．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）

A．a2+ab+b2 B．9y2﹣4y C．4a2+1﹣4a D．q2+2q﹣1

【解答】解：4a2+1﹣4a＝（2a﹣1）2．

故选：C．

【即学即练2】

5．下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②a2+ab+b2；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：在x2﹣2xy+y2；；﹣4ab﹣a2+4b2；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2中，能用完全平方公式分解的有：x2﹣2xy+y2；；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2．

故选：D．

【即学即练3】

6．把下列各式分解因式．

（1）n2﹣6mn+9m2

（2）a2﹣14ab+49b2

（3）a2﹣4ab+4b2

（4）m2﹣10m+25．

【解答】解：（1）n2﹣6mn+9m2＝（n﹣3m）2；

（2）a2﹣14ab+49b2＝（a﹣7b）2；

（3）a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2；

（4）m2﹣10m+25＝（m﹣5）2．

【即学即练4】

7．分解因式：

①x2+6x+9＝（x+3）2；

②1﹣4x+4y2＝（1﹣2y）2；

③﹣a2+2a﹣1＝﹣（a﹣1）2．

【解答】解：①x2+6x+9＝（x+3）2；

②1﹣4x+4y2＝（1﹣2y）2；

③﹣a2+2a﹣1＝﹣（a2﹣2a+1）＝﹣（a﹣1）2．

故答案为：（x+3）2；（1﹣2y）2；﹣（a﹣1）2；．

【即学即练