《5.1.1平均变化率》学案 (1).docVIP

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§5.1.1平均变化率

目标要求

1、通过实例分析，感受平均变化率的实际意义．

2、求具体函数的平均变化率．

3、平均变化率实际意义的理解．

学科素养目标

通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．

导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．

重点难点

重点：具体函数的平均变化率的求法；

难点：平均变化率实际意义的理解．

教学过程

基础知识积累

1.平均变化率

(1)表示：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为_________________．

(2)意义：平均变化率是曲线陡峭程度的“______”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“______”．

【注意】函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率也可为______________，要注意分子、分母的匹配．

【课前预习思考】

(1)平均变化率只能是正数吗？

(2)平均变化率不能准确量化一段曲线的陡峭程度吗？

【课前小题演练】

题1.（多选）下列说法正确的是()

A.平均变化率只能是正数.

B.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数．

C.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的”．

D.平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在相应区间上越“陡峭”，反之亦然．

题2．自变量x从2变到3时，函数f(x)＝3x－1的函数值的增量与相应自变量的增量之比等于()

A．－1B．1C．2D．3

题3．某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内下列理解正确的是()

A．(t0＋Δt)－t0称为函数值增量B．t0称为函数值增量

C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数值增D．eq\f(Δs,Δt)称为函数值增量

题4．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________.

【课堂题组训练】

类型一求函数的平均变化率(数学运算)

题5．函数f(x)＝eq\f(1,x)在[2，6]上的平均变化率为________．

题6．求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)时平均变化率的值．

题7.已知一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在时间[3，3＋Δt]内的平均速度是()

A．(5＋Δt)(m/s)B．[5＋(Δt)2](m/s)

C．[5(Δt)2＋Δt](m/s) D．5(Δt)2(m/s)

类型二函数平均变化率的应用(数学抽象)

【典例】题8.在山地自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s(t)＝t＋t2(位移单位：m，时间单位：s).则10s后的0.1s内运动员的平均速度为________.

题9．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3.

(1)求半径r关于体积V的函数r(V).

(2)求体积V从0L增加到1L和从1L增加到2L时，半径r的平均变化率(精确到0.01).

(3)由(2)的求解结果可说明什么意义？

题10．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3.求气球半径r关于表面积S的函数r(S).

题11.正弦函数y＝sinx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))内的平均变化率较