《5.3.2导数在研究函数中的应用—极大值与极小值》学案 (2).docVIP

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§5.3.2导数在研究函数中的应用—极大值与极小值

目标要求

1、通过实例分析，了解函数的极值及相关的概念．

2、能利用导数求某些函数的极值．

3、体会导数在求极值中的应用.

4、能利用导数研究函数极值等相关的问题．

学科素养目标

通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．

导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．

重点难点

重点：体会导数在求极值中的应用；

难点：能利用导数研究函数极值等相关的问题．

教学过程

基础知识积累

极大值

（1）特征：函数在点的附近有意义，且函数图象在点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减）.

（2）实质：，且在点附近的左侧_______________，右侧______________.

（3）极大值为___________.

【友情提醒注意】极大值是个局部的概念，是函数在某点处的值与其附近左右两侧的函数值比较的结果．

2．极小值

（1）特征：函数在点的附近有意义，且函数图象在点处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增）.

（2）实质：，且在点附近的左侧_____________，右侧_____________.

（3）极小值为_____________.

【友情提醒注意】函数的极值不是惟一的，极大值与极小值之间无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值．

3．极值点、极值的定义

(1)极小值点、极大值点统称为___________．

(2)极小值、极大值统称为____________．

【课前预习思考】

(1)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

(2)极值刻画的是函数的整体性质还是局部性质？

【课前小题演练】

题1．（多选）下列说法正确的是()

A.一个函数在一个区间的端点不能取得极值．B.一个函数在给定的区间上一定有极值．

C.函数极大值一定比极小值大．D.极值刻画的是函数的局部性质．

题2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()

A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点

题3．函数f(x)＝x＋2cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的极大值点为()

A．0B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)

【课堂题组训练】

类型一求函数的极值(点)(数学抽象、数学运算)

题4．函数y＝2－x2－x3的极值情况是()

A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值

C．既无极大值也无极小值D．既有极大值又有极小值

题5．(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是()

A．－3是f(x)的一个极小值点B．－2和－1都是f(x)的极大值点

C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)D．f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)

题6．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是()

A．y＝x3 B．y＝x2＋1C．y＝|x| D．y＝2x

题7.当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()

A．y＝x3