《5.3.2导数在研究函数中的应用—极大值与极小值》(含答案)学案 (1).docVIP

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§5.3.2导数在研究函数中的应用—极大值与极小值

目标要求

1、通过实例分析，了解函数的极值及相关的概念．

2、能利用导数求某些函数的极值．

3、体会导数在求极值中的应用.

4、能利用导数研究函数极值等相关的问题．

学科素养目标

通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．

导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．

重点难点

重点：体会导数在求极值中的应用；

难点：能利用导数研究函数极值等相关的问题．

教学过程

基础知识积累

极大值

（1）特征：函数在点的附近有意义，且函数图象在点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减）.

（2）实质：，且在点附近的左侧，右侧.

（3）极大值为.

【友情提醒注意】极大值是个局部的概念，是函数在某点处的值与其附近左右两侧的函数值比较的结果．

2．极小值

（1）特征：函数在点的附近有意义，且函数图象在点处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增）.

（2）实质：，且在点附近的左侧，右侧.

（3）极小值为.

【友情提醒注意】函数的极值不是惟一的，极大值与极小值之间无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值．

3．极值点、极值的定义

(1)极小值点、极大值点统称为极值点．

(2)极小值、极大值统称为极值．

【课前预习思考】

(1)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

提示：不一定．例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．

(2)极值刻画的是函数的整体性质还是局部性质？

提示：极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质．

【课前小题演练】

题1．（多选）下列说法正确的是()

A.一个函数在一个区间的端点不能取得极值．B.一个函数在给定的区间上一定有极值．

C.函数极大值一定比极小值大．D.极值刻画的是函数的局部性质．

【答案】AD

【解析】A√.函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．

B×.在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点．

C×.极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．

D√.极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质．

题2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()

A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点

【解析】选C.由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，在x0的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，

设y＝f′(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．

题3．函数f(x)＝x＋2cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的极大值点为()

A．0B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)

【解析】选B.f′(x)＝1－2sinx．令f′(x)＝0，因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以x＝eq\f(π,6)，

当x∈eq\b\lc\(\rc\)(