《5.3.1单调性》(含答案)学案 (2).docVIP

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§5.3.1导数在研究函数中的应用—单调性

目标要求

1、通过实例分析，了解函数的单调性与导数的关系．

2、能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．

3、能利用导数研究函数单调性相关的问题．

学科素养目标

通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．

导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．

重点难点

重点：利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间；

难点：能利用导数研究函数单调性相关的问题．

教学过程

基础知识积累

1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系

在某个区间(a，b)上的函数y＝f(x)：

f′(x)的正负

f(x)的单调性

f′(x)0

函数f(x)在(a，b)上单调递增

f′(x)0

函数f(x)在(a，b)上单调递减

【课前预习思考】

(1)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？

提示：f(x)是常数函数．

(2)在区间(a，b)内，f′(x)0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？

提示：充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0.

(3)若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？

提示：f′(x)≥0(或f′(x)≤0).

2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

一个函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在某一范围内导数的绝对值为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))))，则

eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))))

函数值的变化

函数的图象

越大

在这一范围内变化得较快

比较“陡峭”

(向上或向下)

越小

在这一范围内变化得较慢

比较“平缓”

【课前预习思考】

某一范围内函数图象比较陡峭，是否导数值就较大？

提示：不是．导数值有正有负，当函数在某一区间为增函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值越来越大；当函数在某一区间为减函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值为负值，其绝对值越来越大，而导数值越来越小．

【课前小题演练】

题1．（多选）下列命题正确的是().

A.函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减．

B.函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．

C.函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．

D.判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．

【答案】ACD

提示：A√.函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，所以函数f(x)在这个区间上单调递减，故正确．

B×.切线的“陡峭”程度与|f′(x)|的大小有关，故错误．

C√.函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．

D√.若f′(x)≥0(≤0)，则函数f(x)在区间内单调递增(减)，故f′(x)＝0不影响函数单调性．

题2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为__________．

【解析】因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.

所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).

答案：(0，＋∞)

题3．求函数y＝x2－4x＋a的单调区间．

【解析】y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).

【课堂题组训练】

类型一导数与函数图象的关系(数学抽象、数学直观)

题4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则()

A．f′(3)0 B．f′(3)0C．f′(3)＝0