人教B版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量.docVIP

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1.2空间向量在立体几何中的应用

1.2.1空间中的点、直线与空间向量

课后训练巩固提升

1.已知两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是()

A.平行 B.相交

C.垂直 D.不确定

解析:∵v2=-2v1,

∴v1∥v2,∴l1∥l2.

答案:A

2.已知两向量v1=(2,0,3),v2=(-3,0,2),则以向量v1,v2为方向向量的直线l1,l2的夹角为()

A.90° B.45° C.60° D.30°

解析:∵cosv1,v2=-6+6

∴v1⊥v2,∴l1⊥l2,故夹角为90°.

答案:A

3.已知A,B,C三点的坐标分别为A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,λ).若AB⊥

A.28 B.-28 C.14 D.-14

解析:∵AB=(-2,-6,-2),AC=(-1,6,λ-3),

∴AB·AC=2-36-2(λ-3)=0,

答案:D

4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于()

A.45°

B.60°

C.90°

D.30°

解析:以D为原点,DA,

设正方体的棱长为1,则E(1,0,12),F1,12,0,G(1,1,12),H(12,1,1),即

答案:B

5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则下列直线与直线CE垂直的是()

A.AC B.BD C.B1D1 D.A1A

答案:BC

6.已知两条异面直线a,b的夹角为80°,a,b分别为直线a,b的方向向量,则a,b=.?

答案:80°或100°

7.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.?

解析:以A为原点,AB,

设AB=1,则AA1=2,A1(0,0,2),A(0,0,0),B(1,0,0),D1(0,1,2).

∴A1B=(1,0,-2),AD1=(0,1,2),∴|cos

答案:4

8.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3).若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为.?

解析:设M(x,y,z),

则由已知,得AM=λAB=λ(-1,1,0)=(-λ,λ,0).

∵AM=(x,y,z-1),∴⊥AB,∴CM·AB=0,CM=(-λ-1,λ-2,4),

∴(λ+1)+(λ-2)=0,解得λ=12

∴点M的坐标为-1

答案:-

9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.证明:PQ∥RS.

证明:方法一:以D为原点,DA,

则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),PQ=(-3,2,1),RS=(-3,2,1),

∴PQ=RS,∴PQ∥RS,

方法二:RS=

∴RS=

∴RS∥

∴RS∥PQ.

10.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.

(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;

(2)求异面直线AE与CD所成角的大小(用反三角函数表示).

(1)证明:∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.

又AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD.

又AE⊥PD,∴PD⊥平面ABE,∴BE⊥PD.

(2)解:如图,过点E作EF⊥AD,垂足为点F,以A为原点,AB,AD,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则C(a,a,0),D(0,2a,0).

∴∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,

∴∠PDA=30°.

于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a.

在Rt△AFE中,

由AE=a,∠EAF=60°,得AF=12a,EF=3

∴E0,

于是,AE=

设AE与CD的夹角为θ,则cosθ=

∴θ=arccos24

∴AE与CD所成角的大小为arccos24.