3.1勾股定理（2）（分层练习）原卷版.docxVIP

3.1勾股定理（2）

分层练习

考查题型一验证勾股定理

1．（2025·山西·统考中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证有名的勾股定理：这种依据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的很多数学公式和规律，它体现的数学思想是（????）

A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想

2．（2025·山东德州·统考一模）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（????）

A．B．C．D．

3．（2025·福建龙岩·校考一模）观看“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，ab，依据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（???）

A．a(a?b)=a2?ab

C．(a?b)2=a

4．（2025·陕西西安·校考模拟猜测）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，制造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形的边长．

??

5．（2020秋·四川成都·八班级成都七中校考开学考试）勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发觉、争辩和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．

6．（2025·四川凉山·四川省凉山州民族中学校联考模拟猜测）勾股定理奇特而奇特，它的证法多样，其奇妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发觉；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．

证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延线于点F，则DF＝EC＝b﹣a．

∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+1

又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DBC＝12c2+12a（b﹣

∴12b2+12ab＝12c2+12a（

∴a2+b2＝c2

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．

考查题型二运用勾股定理解决问题

1．（2019秋·广东佛山·八班级佛山市惠景中学校考阶段练习）已知一个直角三角形两边长分别为3和5，这第三边长的平方是（????）

A．16 B．16或34 C．16或31 D．34

2．（2019·山东·校考二模）在Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2

A．4 B．6 C．8 D．无法计算

3．（2019·贵州·统考中考真题）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为________．

4．（2025·湖南长沙·九班级学业考试）如图，等腰三角形ΔABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5?cm，BC=6?cm，则AD=

5．（2025秋·八班级单元测试）如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC．

6．（2025秋·江苏·八班级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15．求

1．（2025春·广东河源·八班级校考开学考试）如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4

A．16 B．18 C．20 D．22

2.（2025秋·八班级单元测试）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．

(1)请依据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；

探究争辩：

(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；

问题解决：

(3)如图2，若a=6，b=8，此时空白部分的面积为__________；

(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24