2.3 圆与圆的位置关系 【同步教案】(解析版).docxVIP

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2.3圆与圆的位置关系

2.3圆与圆的位置关系

讲

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教材知识梳理

教材知识梳理

1.圆与圆的位置关系

两圆相交：有两个公共点

两圆相切：（内切、外切）只有一个公共点

两圆相离：（内离、外离）没有公共点

2.判断两圆的位置关系的两种方法

(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．

位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

图示

d与r1，r2的关系

dr1＋r2

d＝r1＋r2

|r1－r2|dr1＋r2

d＝|r1－r2|

d|r1－r2|

(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．

C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F10)，

C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F20)，

联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：

方程组解的个数

2组

1组

0组

两圆的公共点个数

2个

1个

0个

两圆的位置关系

相交

外切或内切

外离或内含

例

例

例题研究

例题研究

判断圆与圆的位置关系

判断圆与圆的位置关系

题型探究

题型探究

例题1

圆:与圆：的位置关系是（）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

【答案】C

【分析】求出圆心和半径，求出两圆的圆心距，与两圆的半径的和差比较大小可得结论.

【详解】

圆标准方程是，圆心为，，

圆标准方程是，圆心为，，

，而，

∴两圆相交.

故选：C.

【点睛】考查圆与圆的位置关系的判断，求出圆的标准方程，利用圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．

例题2

当时，两圆与的位置关系为（）

A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交、相切或相离

【答案】D

【分析】圆心距为，讨论时，时，时，时四种情况，分别计算得到答案.

【详解】

两圆与的圆心距为，.

当时，，两圆内切；

当时，，两圆相交；

当时，，两圆外切；

当时，，两圆外离；

故选：.

【点睛】考查了圆和圆的位置关系

跟踪训练

跟踪训练

训练1

在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.

【详解】

设，则，

所以，

所以点M的轨迹是一个圆D,

由题得圆C和圆D相交或相切，

所以，

所以.

故选：B

【点睛】考查动点的轨迹方程的求法，考查两圆的位置关系.

训练2

已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为()

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．

【详解】

如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，

圆的圆心坐标为,，半径为3，

由图象可知，当三点共线时，取得最小值，

且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，

即，

故选D．

【点睛】考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用

由圆与圆的位置关系确定圆的方程

题型探究

题型探究

例题1

若圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

求出圆的圆心关于直线对称点，再根据半径相同，从而得到圆的方程.

【详解】

解：圆的圆心关于直线对称点为，

半径和圆相同，则圆的方程为，

故选：C.

【点睛】考查求一个点关于直线的对称点，两个圆关于直线对称的性质，属于中档题.

例题2

过点以及圆与圆交点的圆的方程是（）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据过两圆交点的圆系方程可设所求圆的方程为,把点代入方程,求出即可.

【详解】

设所求的圆的方程为,

把点代入可得,,

解得,所以所求圆的方程为,

故选:A

【点睛】考查过两圆交点的圆系方程.·

跟踪训练

跟踪训练

训练1

若圆与圆的公共弦长为，则圆的半径为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先由题，求出两圆的公共弦，再求得圆的直径等于公共弦长为，可得公共弦过圆C的圆心，可得答案.

【详解】

联立，得，因为圆的直径为，