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第13讲复数的概念
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课程标准
课标解读
1.通过方程的解,认识复数。
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义。
1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程。
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念。
3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件。
知识精讲
知识精讲
知识点01复数的概念
1.复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作虚数单位.全体复数所组成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫作复数集,其中i2=-1.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部.
2.复数的分类
对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,z是实数a;当且仅当a=b=0时,z是实数0;当b≠0时,z叫作虚数;当a=0且b≠0时,z叫作纯虚数。
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R
复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:
【知识拓展】
复数概念的应用
1.在复数集C={a+bi|a,b∈R}中,a+bi=0的充要条件是a=0且b=0.
2.复数a+bi为实数的充要条件是b=0.
3.复数a+bi为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.
【即学即练1】若复数满足,则的虚部是(????)
A.3 B.-3 C. D.
【答案】B
【分析】根据虚部的定义直接得到答案.
【详解】复数满足,则的虚部是.
故选:B
【即学即练2】“复数为纯虚数”是“”的(????)
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】根据纯虚数的概念分析可知.
【详解】由纯虚数的概念可知,若复数为纯虚数,则且,故“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选:B
知识点02复数相等
如果两个复数的实部与虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,这就是说,两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等。
【知识拓展】
1.由a+bi=0,a,b∈R,可得a=0且b=0.
2.如果两个复数有大小关系,那么这两个复数必定都是实数.例如,若a+bic+di,则有b=d=0,且ac.
【即学即练3】若,是虚数单位,,则等于(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据复数相等可得,,进而即得.
【详解】因为,
所以,,即,,
所以.
故选:D.
能力拓展
能力拓展
考法复数的基本概念辨析
【典例1】若关于x的方程(1+i)x2﹣2(a+i)x+5﹣3i=0(a∈R)有实数解,求a的值(i为虚数单位).
【答案】﹣3或.
【分析】利用复数的运算法则、复数相等、方程的解法即可得出.
【详解】解:将原方程整理得:(x2﹣2ax+5)+(x2﹣2x﹣3)i=0
设方程的实数解为x0,代入上式得:(5)+(3)i=0,
由复数相等的充要条件,得:5=0,3=0,
联立解得x0=3,或x0=﹣1,
x0=3时,解得a;
x0=﹣1时,解得a=﹣3.
故答案为:-3或
分层提分
分层提分
题组A基础过关练
1.已知复数是纯虚数,则实数=(????)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【答案】A
【分析】对复数进行化简,根据纯虚数的定义列出方程求解即可.
【详解】,
根据题意得,解得.
故选:A.
2.下列命题中正确的是(????).
A.;
B.;
C.若x,,则的充要条件是;
D.若,则.
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则即可判断结果.
【详解】,故A????正确;
,故B错误;
若x,,若有;若有;
故是的充分不必要条件,C错误;
若,取则,故D错
故选:A
3.复数的虚部是(????)
A. B. C. D.1
【答案】A
【分析】由复数的概念即可得出结果.
【详解】复数的虚部是-1.
故选:A.
4.复数的实部是(????)
A.2 B. C.2+ D.0
【答案】A
【分析】根据复数的定义,可得答案.
【详解】由题意,可得复数的实部是,故选:A.
5.复数的虚部为___________.
【答案】4
【分析】根据复数的代数形式可直接得到其虚部.
【详解】由复数的概念可得复数的虚部为.故答案为:
6.若复数为纯虚数,则实数m的值为___________.
【答案】
【分析】先对原式变形,利用纯虚数的概念可得,即可求解的值.
【详解】解:由题可得为纯虚数,
所以,解得.
故答案为:.
7.若是纯虚数,则复数z的实部与虚部的和是______________.
【答案】
【分析】根据纯虚数的定义可得,即可求解的值,再根据复数实部与虚部的概念求解即可.
【详解】解:因为z是纯虚数,所以,解得,
从而复数z的实部与虚部分别是0和,其和是.
故答
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