第09讲 圆锥曲线中的定点、定直线和定圆问题（解析）_1.docx

第09讲圆锥曲线中的定点、定直线和定圆问题

考法呈现

题型一：定点问题

考法一：直线过定点

例题分析

【例1】

已知椭圆C:x2a2+y

(1)求椭圆C的方程；

(2)若动点P在直线x=-1上，过P作直线交椭圆C于M,N两点，且P为线段MN的中点，再过P作直线

【答案】(1)x

(2)证明见解析

【分析】（1）由点(2,0)在椭圆C上，代入椭圆的方程，再由椭圆C的离心率为12，求得a

（2）设P(-1,y0)，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y-y0=k(x+1)，联立方程组，根据点P的横坐标求得k

【详解】（1）因为点(2,0)在椭圆C上，可得4a2+

又因为椭圆C的离心率为12，所以ca=12

所以椭圆C的标准方程为x2

（2）由题意，可设P(-1,y0

①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y-

联立方程组y-

整理得(3+4k

则Δ=

所以x1

因为P为MN的中点，所以x1+x

所以kMN=k

因为l⊥MM，所以kl=-4

即y=-4y03

②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=

此时直线l为x轴，也过点(-1

综上所述，直线l恒过定点(-1

????

直线过定点问题常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y＝kx＋b来证明．

变式训练

【变式1-1】已知椭圆C:x2a2

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点A作与y=tx2t0相切的两条直线，分别交椭圆C于

【答案】(1)x

(2)证明见解析

【分析】（1）由已知列方程组求出a,

（2）先由直线AP,AQ与曲线y=tx2t0相切，由判别式法得两直线斜率关系1k1+1k2=-2；再将斜率坐标化，由直线PQ方程y=

【详解】（1）由点A-2,1代入方程x2

由题可得4a2+

∴所求椭圆方程为x2

（2）设过点A的直线为y-1=k

y-

消y得，tx2-

得，k2+8tk+4

则k1+k2k1k2=1

设直线PQ为：y=mx+n，

y=mx+

则x1+

由Δ=16m2

1k

即x

整理得2m

将①式代入得，

2m

整理得：n2

即n-2m+1n

所以当n=2m+1时，直线PQ为y

当n=-4m+1时，直线PQ为：y=

综上，直线PQ恒过定点4,-1．

??

【变式1-2】已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0

(1)求双曲线C的方程；

(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且PM⊥PN，求证：直线l

【答案】(1)x

(2)证明见解析

【分析】（1）根据双曲线上过的点及离心率列出方程组，求出双曲线方程；

（2）设出直线方程，分斜率不存在和斜率存在两种情况，特别是当斜率存在时，设直线为y=kx+m，与双曲线方程联立，根据题干中条件，列出方程，找到k

【详解】（1）由已知得：e=ca

又因为P4,6在C上，则16a

解得a2=4，

所以双曲线C的方程为x2

（2）若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，

联立方程x24-y2

由已知k≠±3，则3-k

可得x1+x

又因为PM=

由PM⊥PN可得：

整理得：1+k

则1+k

可得m2-32

由已知l不经过点4,6，故m+4

所以m-8k-

可得l：y=kx

若直线l的斜率不存在，设Mx1,

可得PM=

由PM⊥PN可得：

又因为x124

综上所述：故直线l过定点Q-

??

【点睛】方法点睛：直线过定点问题，先考虑直线斜率不存在时，再考虑直线斜率时，要设出直线方程为y=kx+m，与曲线方程联立后得到两根之和与两根之积，根据题意建立等量关系，求出k

【变式1-3】已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝4x，点A-2，

(1)若直线l⊥x轴，求直线

(2)若直线l不垂直于x轴，且∠PAO＝∠

【答案】(1)-

(2)证明见解析

【分析】（1）当点P在第一象限时，设P(t,2t),t0，

（2）设直线l的方程为y=kx+b(k≠0)

【详解】（1）??

当点P在第一象限时，设P(

则kPA=2t-0

同理，当点P在第四象限时，kPA

综上所述，直线PA的斜率的取值范围是-2

（2）设直线l的方程为y=

联立方程y=kx+b,y

设Px1,

∵∠

∴kAP+

即y1x

即y1

即y1

即4b+8

∴b=-2k，满足

∴y=

∴直线l过定点(2,0).

考法二：存在定点满足某条件

例题分析

【例2】已知椭圆C:x2a2+y23=1(

(1)求△OPQ