第03讲 向量的数乘（解析版）.docx

第03讲向量的数乘

目标导航

目标导航

课程标准

课标解读

1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。

2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

1.理解和掌握向量数乘的定义和向量数乘的几何意义；

2.能够熟练掌握和运用向量数乘的运算律；

3.能够理解和掌握共线向量定理，能够证明三点共线。

知识精讲

知识精讲

知识点01向量数乘的定义及其几何意义

1.向量数乘的定义

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|.

(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(当λ0时，与a的方向相同；,当λ0时，与a的方向相反.))

特别地，当λ＝0时，λa＝0；当λ＝－1时，(－1)a＝－a.

2.向量数乘的几何意义

（1）当λ0时，把向量a沿着向量a相同的方向放大或缩小。

（2）当λ0时，把向量a沿着向量a相反的方向放大或缩小。

【即学即练1】如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（????）

A． B． C． D．

答案C

解析：.故选：C

知识点02向量数乘的运算律

1.(1)λ(μa)＝(λμ)a.

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

2.向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

【即学即练2】的化简结果为（????）

A． B． C． D．

答案B

解析：由题意，.

故选：B.

知识点03共线向量定理

1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

2.如果是三个不同的点，那么它们共线的充要条件是存在实数λ，使得。

能力拓展

能力拓展

考法01有关向量的数乘运算

【典例1】下列各式化简正确的是（????）

A． B．

C． D．

答案D

解析：对于A，，故错误；

对于B，，故错误；

对于C，，故错误；

对于D，，故正确；

故选：D

考法02向量数乘的混合运算

【典例2】下列各式计算正确的个数是（）

①；②；③.

A．0 B．1

C．2 D．3

答案C

解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．

故选：C.

分层提分

分层提分

题组A基础过关练

1．在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（????）

A． B．2 C． D．

答案B

解析：在平行四边形中，，所以．

故选：B．

2．已知，则（????）

A．三点共线 B．三点共线

C．三点共线 D．三点共线

答案C

解析：对于A:不存在实数，使得，故三点不共线；

对于B:不存在实数，使得，故三点不共线；

对于C:,故，所以三点共线；

对于D:不存在实数，使得，故三点不共线；

故选：C

3．在中，点D是的中点，则向量（????）

A． B． C． D．

答案A

解析：.

故选：A

4．若，则__．

答案1

解析：，

，

又，

，

，解得，，

，

故答案为：1．

5．化简______.

答案

解析：.

故答案为:.

6．平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_____________．

答案

解析：如图所示，

，

所

故答案为：

7．化简：

(1)

(2)??

答案(1)；(2)

解析：(1)原式＝

(2)原式＝

题组B能力提升练

1．已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（????）

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

答案D

解析：因为，所以.

以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示:

则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心.

故选：D

2．与模长为13的向量平行的单位向量为（????）

A． B．

C．或 D．或

答案C

解析：与模长为13的向量平行的单位向量为,

故选：C.

3．在中，是边上的中点，则（????）

A． B．

C． D．

答案C

解析：因为是边上的中点，

所以，

故选：C

4．（多选）在中，，记，则下列结论中正确的是（????）

A． B． C． D．

答案AC

解析：解：因为，，

所以，

所以，.

故选：AC.

5．平行四边形中，，则__________.

答案1

解析：

由题意知：，则，即，则.

故答案为：1.

6