猜题01 第21题 导数与函数、数列等新定义题型（解析版）.doc

猜题01第21题导数与函数、数列等新定义题型

一、解答题

1．（2023春·上海·高三统考开学考试）设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．

(1)若，试问是否为的控制函数”；

(2)若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值；

(3)若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，．

【答案】(1)是的控制函数

(2)证明见解析，

(3)证明见解析

【分析】（1）令，利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可；

（2）利用导数的几何意义求得切线的方程，再利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可；

（3）设曲线在处的切线为，利用切线过求出与的关系，再利用控制函数的定义求解即可；

【解析】（1）当时，令，

所以，令解得或，

所以在单调递减，

又因为，所以在上小于等于0恒成立，

即在上恒成立，所以由题意是的控制函数.

（2）当时，，，

所以，，

所以曲线在处的切线为，整理得，

令，则，

令解得，所以在单调递增，在单调递减，

又，所以在上小于等于0恒成立，

即在上恒成立，所以是的控制函数，

由题意.

（3）由题意

设在处的切线为，

则，因为且，

所以，

所以，

，

所以，

则即恒成立，

所以函数必是函数的“控制函数”.

是函数的“控制函数”

此时“控制函数”必与相切与点，与在处相切，且过点，

由上及知：当且仅当或时等号成立，其他位置恒有，

所以或.

所以曲线在处的切线过点，且，

当且仅当或时，.

【点睛】关键点点睛：对于第3问，利用导数求得在一点处的切线，再根据切线过点可解出与的关系.

2．（2022·上海杨浦·统考一模）已知函数，其中为正整数，且为常数．

(1)求函数的单调增区间；

(2)若对于任意，函数，在内均存在唯一零点，求a的取值范围；

(3)设是函数大于0的零点，其构成数列．问：是否存在实数a使得中的部分项：，，，（其中时，）构成一个无穷等比数列若存在；求出a；若不存在请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在；

【分析】（1）由题知，再根据导数求解即可得答案；

（2）由题知，函数在上单调递增，进而转化为，再解不等式得对一切成立，进而得；

（3）根据得，再证明时是恒为1的常数列，符合题意，和时不满足题意即可.

【解析】（1）解：由题知，

所以，令得，

所以函数的单调增区间为．

（2）解：当时，恒成立，

所以，函数在上单调递增，

所以函数在内均存在唯一零点只需即可，

即

因为为正整数，，

所以对一切成立

因为当时，，当且仅当时等号成立，

所以．

（3）解：由于得，下面证明时满足题意.

①，则．

则．

由（2），是上的严格增函数，

所以．

所以，是恒为1的常数列，符合题意．

②．

，

由于是上的严格增函数，所以．

，

由于是上的严格增函数，

所以．

所以，是严格增数列，那么无穷等比数列也为严格增数列．

所以，．

当时，．但这与矛盾

故不符合题意．

③时，，

由于是上的严格增函数，所以．

，

由于是上的严格增函数，

所以．

所以，是严格减数列，那么无穷等比数列也为严格减数列．

所以，．

当时，．但这与矛盾

故不符合题意．

综上，使数列部分项可以构成等比数列的充要条件是：．

【点睛】关键点点睛：本题第3问解题的关键在于根据得，进而分，，分别说明时成立，其他范围不成立即可.

3．（2022·上海松江·统考一模）已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为.

(1)求函数的解析式；

(2)已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；

(3)设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由可求得、的值，进而可得出函数的解析式；

（2）对分奇数和偶数两种情况讨论，求出的表达式，根据可得出的表达式；

（3）分为奇数、偶数两种情况讨论，求出、关于的表达式，求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得出集合“阈度”的取值范围.

【解析】（1）解：因为，则，

若，即，解得，则，

因为，可得，因此，.

（2）解：当为奇数时，设，则，

此时，此时；

当为偶数时，设，则，

此时，，此时.

综上所述，.

（3）解：，

因为，，其中，

所以，数列的奇数项构成以为首项，公比为的等比数列，

数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列，

①当为偶数时，，

则，

此时，随着的增大而增大，则；

②当为奇数时，，

，

此时，随着的增大而增大，则.

因此，当且，的值在区间内，则，

故集合“阈度”的取值