高中数学第一章数列 数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5.doc

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§4数列在日常经济生活中的应用

知识点一零存整取模型

[填一填]

(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．

(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.

[答一答]

1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．

提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．

(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.

(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.

(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝eq\f(r(1＋r)na,(1＋r)n－1).

知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤

[填一填]

(1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．

(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．

[答一答]

2．数列应用题中常见模型是哪些？

提示：等差模型和等比模型．

1．数列实际应用题的解题策略

解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．

2．处理分期付款问题的注意事项

(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)．

(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．

类型一单利计算问题

【例1】有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：

本利和＝每期存入金额×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(存期＋\f(1,2)存期×(存期＋1)×利率)).

(1)试解释这个本利和公式；

(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？

(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2000元,那么每月应存入多少金额？

【思路探究】存款储蓄是单利计息,若存入金额为A,月利率为P,则n个月后的利息是nAP.

【解】(1)设每期存入金额A,每期利率P,存入期数为n,则各期利息之和为

AP＋2AP＋3AP＋…＋nAP＝eq\f(1,2)n(n＋1)AP.

连同本金,就得：

本利和＝nA＋eq\f(1,2)n(n＋1)AP＝Aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)n(n＋1)P)).

(2)当A＝100,P＝5.1‰,n＝12时,

本利和＝100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋\f(1,2)×12×13×5.1‰))＝1239.78(元)．

(3)将(1)中公式变形得

A＝eq\f(本利和,n＋\f(1,2)n(n＋1)P)

＝eq\f(2000,12＋\f(1,2)×12×13×5.1‰)≈161.32(元)．

即每月应存入161.32元．

规律方法单利的计算问题,是等差数列模型的应用．

王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.

(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？

(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)

解：(1)设王先生每月存入A元,则有A(1＋2.7‰)＋A(1＋2×2.7‰)＋…＋A(1＋36×2.7‰)＝20000,利用等差数列前n项和公式,得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36＋36×2.7‰＋\f(36×35,2)×2.7‰))＝20000,解得A≈529元．

(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入eq\f(20000,36)≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋