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勾股定理的简单应用
1．勾股定理的适用范围
勾股定理只适用于直角三角形．或一个三角不是直角三角形，必须添加辅助线构造直角三角形才能用勾股定理．
2．勾股定理简单应用形式
（1）已知直角三角形任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形任意一边，确定另外两边的数量关系；
（3）构造方程或方程组计算与直角三角形有关的长度、高度、距离、面积等问题；
（4）证明含有平方关系的几何问题；
1.已知中，，若，，则的面积为（）
A.9 B.18 C.24 D.36
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，根据题意可知，进而根据完全平方公式变形求得的值，即可求解．
【详解】∵，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
∴的面积为，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，求得的值是解题的关键．
2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边cm，cm，将折叠使点B与点A重合，折痕为，则的长为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求出，利用折叠的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵cm，cm，
∴，
∵折叠，
∴，
设，则：
由勾股定理得：，
解得：；
∴；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理和折叠的性质．熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
3.如图直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（）
A.16 B.6 C.4 D.5
【答案】A
【解析】
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】解：标记字母如图，
由于都是正方形，所以；
∵，
即，
在和中，，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得：，
即
故选A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是证明．
4.如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求的长；
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）
（2）出发秒后，能形成等腰三角形；
（3）当t为11秒或12秒或13.2秒时，为等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）先求出和的长，则可求得的长，然后利用勾股定理计算即可；
（2）用t分别表示出和，根据为等腰三角形可得到，则可得关于t的方程，解方程即可；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形性质可分、和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【小问1详解】
解：当时，则，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由题意可知，，
∵，
∴，
当为等腰三角形时，则有，
即，
解得，
即出发秒后，能形成等腰三角形；
【小问3详解】
解：①当时，如图1所示，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴秒；
②当时，如图2所示，
则，
∴秒；
③当时，如图3所示，
过B点作于点E，
则，
∴，
∴，
∴，
∴秒，
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
【练经典】
5.如图，中，，，则的长为（）
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出即可．
【详解】解：在中，，，
所以．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握定理是解题的关键.即直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，则．
6.如图，在中，，，的面积为90，则AC的长是（）
A.9 B.12 C. D.24
【答案】D
【解析】
【分析】先利用三角形面积公式求出，再利用勾股定理解求出，即可求解．
【详解】解：的面积为90，，
，
解得，
在中，，
，
故选D．
【点睛】本题考查三角形面积公式、勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，即直角三角形两条直角边的平方的和等于斜边的平方．
7.如图，在中，，，，平分，则的长度是______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作交于点，根据角平分线的性质，得出，再根据勾股定理，得出的长，然后设，则，再根据等面积法，列出方程并解出，即可得出的长度．
【详解】解：过点作交于点，
∵平分，
∴，
又∵，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的性质、勾股定理、等面积法，解本题的关键是根据等面积法，列
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