北师版高考数学一轮总复习课后习题 高考解答题专项一 第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题.docVIP

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高考解答题专项一函数与导数中的综合问题

第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题

1.(湖南衡阳高三月考)已知函数f(x)=(ax+1)ex.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若a=2,当x≥0时,f(x)≥kx,求实数k的取值范围.

2.(山东济南高三月考)已知f(x)=ex-ax2-x-1.

(1)当a=e2

(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≥0,求实数a的取值范围.

3.(重庆八中高三月考)已知函数f(x)=ex-kx,g(x)=x2+k2-3.

(1)讨论函数y=f(x)的单调区间;

(2)若2f(x)≥g(x)对任意的x≥0恒成立,求实数k的取值范围.

4.(辽宁沈阳高三三模)已知函数f(x)=(x+1)e-ax,a≠0,若对任意的x≥0,不等式f(x)≤12

5.(浙江宁波高三期中)已知函数f(x)=-mx+lnx+1,g(x)=cosx+xsinx-1.

(1)讨论函数f(12,对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[0,π],使得不等式f(x1

第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题

1.解(1)因为f(x)=(ax+1)ex,所以f(x)=aex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex.

若a=0,则f(x)0,f(x)在R上单调递增;

若a0,则当x-a-1a时,f(x)0;当x-a

若a0,则当x-a-1a时,f(x)0;当x-a

(2)当a=2时,不等式f(x)≥kx即为(2x+1)ex≥kx.

当x=0时,原不等式等价于1≥k·0恒成立,此时k∈R.

当x0时,原不等式等价于k≤(2x+1

令函数g(x)=(2x+1)e

当0x12时,g(x)0,g(x)单调递减;当x12时,g(x)0,g(in=g12=4e,所以k≤4e

2.解(1)当a=e2时,f(x)=ex-e2x2-x-1,所以f(x)=ex-ex-1,f″(x)=e

所以当x1时,f″(x)0,f(x)在(-∞,1)上单调递减;

当x1时,f″(x)0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,

因为f(0)=0,f(1)=-1,f(2)=e2-2e-10,

所以存在x0∈(1,2),使f(x0)=0,所以,x∈(-∞,0)时,f(x)0;x∈(0,x0)时,f(x)0;x∈(x0,+∞)时,f(x)0,所以0和x0是f(x)的极值点,所以f(x)有两个极值点.

(2)f(x)=ex-ax2-x-1,f(x)=ex-2ax-1,设h(x)=f(x)=ex-2ax-1(x≥0),则h(x)=ex-2a单调递增,

又因为h(0)=1-2a,

所以当a≤12

所以h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,

所以f(x)≥f(0)=0,符合题意.当a12

当x∈[0,ln2a)时,h(x)0,h(x)在[0,ln2a)上单调递减,f(x)=h(x)≤h(0)=0,f(x)在(0,ln2a)上单调递减,

所以x∈(0,ln2a)时,f(x)f(0)=0,不符合题意,所以实数a的取值范围是-∞,12.

3.解(1)f(x)=ex-k.

①若k≤0,f(x)0恒成立,则y=f(x)在R上单调递增;

②若k0,当xlnk时,f(x)0,f(x)的单调递增区间为(lnk,+∞);

当xlnk时,f(x)0,f(x)的单调递减区间为(-∞,lnk).

(2)2ex-2kx≥x2+k2-3对任意的x≥0恒成立,

即x2

令h(x)=x2

则h(x)=-(x

①当k≥3时,h(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,h(x)在(0,+∞)上单调递减,

所以只需h(0)=k2-3≤2,即k∈[-5,

②当-1≤k3时,h(x)在(0,-k+3)上单调递增,在(-k+3,+∞)上单调递减,所以只需h(-k+3)=6e

③当k-1时,h(x)在(0,-k-1)上单调递减,在(-k-1,-k+3)上单调递增,在(-k+3,+∞)上单调递减.因此h(0)≤2,h(-k

4.解对任意的x≥0,不等式f(x)≤12x+1恒成立,即为对任意的x≥0,(x+1)e-ax≤1

当x≥0时,(x+1)e-ax0,12x+10,将不等式两边取对数得ln(x+1)-ax≤ln12x+1,即ln(x+1)-ln12x+1-ax≤0.因此只需证明当x≥0时,不等式ln(x+1)-ln12x+1-ax≤0恒成立即可.

令g(x)=ln(x+1)-ln12x+1-ax,则g(x)=1x+1-1

若a≥12,因为当x≥0时,1(x

若a0,因为当x≥0时,1(x+1

若0a12,令g(x)=1(x+1)(x+2)-a=0得x=4+a4a-32x=-4+a4a

综上,当不等式f(x)≤12