3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 （六大题型）（原卷版）.docx

3．3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

课程标准

学习目标

1、正确理解函数零点的概念．

2、理解一元二次方程与二次函数的关系．

3、掌握图象法解一元二次方程．

4、能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决．

1、数学抽象：函数零点概念的理解．

2、直观想象：掌握图象法解一元二次方程．

3、数学运算：函数零点的计算、掌握图象法解一元二次不等式．

知识点01一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．

【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有．(填序号)

知识点02二次函数的零点

一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．

【即学即练2】（2023·河南郑州·高一统考期末）已知二次函数的零点为和1，则关于x的不等式的解集为．

知识点03二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．

二次函数

（）的图象

有两相异实根

有两相等实根

无实根

知识点诠释：

（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集．

【即学即练3】若一元二次不等式的解集是，则的值是.

知识点04利用不等式解决实际问题的一般步骤

（1）选取合适的字母表示题中的未知数；

（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；

（3）求解所列出的不等式（组）；

（4）结合题目的实际意义确定答案．

【即学即练4】（2023·全国·高一专题练习）某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是．

知识点05一元二次不等式恒成立问题

（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立

（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．

【即学即练5】已知函数．

(1)若，试求的最小值；

(2)对于任意的，不等式成立，试求的取值范围．

知识点06简单的分式不等式的解法

系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”

【即学即练6】不等式的解集为.

题型一：解不含参数的一元二次不等式

例1．（2023·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集.

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

例2．（2023·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6).

例3．（2023·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考开学考试）解下列不等式：

(1)

(2)

(3)

(4)

变式1．（2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)

(5)

(6)

(7)；

(8)；

(9)；

(10).

变式2．（2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）解下列不等式：

(1)

(2)

(3)

(4)

【方法技巧与总结】

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

（1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．

（2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．

（3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．

（4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．

（5）根据图象写出不等式的解集．

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇

例4．（2023·全国·高一专题练习）若一元二次不等式的解集是，那么不等式的解集是.

例5．（2023·全国·高一专题练习）关于的不等式的解集为，则的解集为.

例6．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式的解是或，不等式的解集为.

变式3．（2023·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）已知，且关于的不等式的解集为，则的最小值为.

变式4．（2023·新疆克孜勒苏·高一克孜勒苏柯尔克孜自治州第一中学校考期中）若不等式的解集是，则有以下结论：①，②且，③，④，⑤不等式的解集是．其中正确结论的序号是．

变式5．（2023·浙