重庆市南开中学校2025年届高三上学期8月第三次质量检测 数学试题（含解析）.docx

重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知全集，集合，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（????）

A．0 B． C． D．

3．已知函数为偶函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（????）

A． B． C． D．2

4．设函数，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

5．已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C．或 D．或

6．设方程的两根为，，则（????）

A．， B．

C． D．

7．若，，，则（????）

A． B． C． D．

8．已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（????）

A． B．

C． D．

10．已知函数，则（????）

A．的值域为

B．是周期函数

C．在单调递减

D．的图象关于直线对称，但不关于点对称

11．已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（????）

A．函数有且仅有两个零点

B．函数有且仅有三个零点

C．当时，不等式恒成立

D．在上的值域为

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是．

13．表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是．

14．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是.

四、解答题（本大题共5小题）

15．求下列函数的导数．

(1)（t为常数）；

(2)．

16．已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)对，恒成立，求a的取值范围.

17．为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．

（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；

（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．

①求，，；

②规定，且有，请根据①中，，的值求出，，并求出数列的通项公式．

18．函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：；

(3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：．

19．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．

(1)求的方程，并说明轨迹的形状；

(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．

①当时，求证：的值及的周长均为定值；

②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．【答案】C

【分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解.

【详解】由可得，解得，

或，

故选.

2．【答案】D

【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得.

【详解】因为，即，

即角的终边经过点，所以，，

所以.

故选D.

3．【答案】A

【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到，再利用奇函数的性质求.

【详解】因为为偶函数，所以，两边求导，可得.

又在处的切线方程为，

所以.

所以.

故选A.

4．【答案】C

【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】函数的定义域为，

且，所以为偶函数，

当时，因为与在上单调递增，

所以在上单调递增，

则在上单调递减，不等式，

即，等价于，解得，

所以不等式的解集为.

故选A.

5．【答案】C

【分析】由题意转化为或，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围.

【详解】在区间上单调，，或，即或恒成立，

设，，

所以函数在区间上单调递减，所以函数的值域是，

所以或