四川省蓬溪中学校2025届高三开学摸底联考 数学试卷（含解析）.docx

2025届高三开学摸底联考

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自已的姓名?考场号?座位号?准考证号填写在答题卡上.

2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A.B.C.D.

2.若复数满足，则（）

A.B.C.D.

3.抛物线的焦点坐标为（）

A.B.C.D.

4.双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

5.将正整数按从小到大的顺序分组，第组含个数，分组如下：…则2025在第（）组.

A.9B.10C.11D.12

6.在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（）

A.B.C.D.

7.已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（）

A.B.C.D.

8.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（）

A.4B.6C.8D.10

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（）

A.2B.0C.-1D.-2

10.已知随机变量，则下列说法正确的是（）

A.B.

C.D.

11.若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”.下列函数为“函数”的是（）

A.B.

C.D.

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在的展开式中，含的项的系数为__________.

13.已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是__________.

14.如图，已知圆的半径为是圆的一条直径.两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

15.（13分）近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点.在对某品牌10个子工厂投资及利润的统计后，得到如下表格，分别表示第个子工厂的投资（单位：万元）和纯利润（单位：万元）.

投入万元

32

31

33

36

37

38

39

43

45

46

纯利润万元

25

30

34

37

39

41

42

44

48

50

（1）依据表中的统计数据，请判断投资与纯利润是否具有较强的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较强.计算时精确度为0.01）

（2）求关于的经验回归方程（精确到0.01）.

参考数据：，.

参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.

16.（15分）已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

17.（15分）如图，在三棱柱中，平面.

（1）求证：平面；

（2）设点满足，若平面与平面的夹角为，求实数.

18.（17分）已知函数，当时，.

（1）求实数的值；

（2）判断函数的单调性；

（3）设，证明：对任意两个不等实数，不等式恒成立.

19.（17分）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；

（3）设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且顺时针排列且，证明：四边形的面积小于.

2025届高三开学摸底联考

数学参考答案及评分意见

1.B【解析】由题易得.故选B.

2.D【解析】由题知，，所以.故选D.

3.B【解析】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点的坐标为.故选B.

4.B【解析】由，得，所以，即双曲线的离心率.故选B.

5.C【解析】由题意可设前组里含有的正整数的个数为，则1，由于，故2025在第11组.故选C.

6.A【解析】由可知，，所以，所以.在中，由等面积法得，