大招11错位相减法.docx

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大招11错位相减法

1．等比数列前项和的求法

对于公比不为1的等比数列，求其前项和时，有，两边同时乘个，得，两式相减，就可以得到，从而．在求等比数列前项和的过程中，我们实际上就用了在等式两边同乘后错位相减的思路．

2．差比数列前项和

若数列满足，其中是等差数列，是公比不为1的等比数列，则是差比数列．若差比数列满足（，），通过错位相减法可以得到，其前项和，其中，．

证明因为（，），，所以，所以（错位），所以（相减），所以．令，，则．

注：差比数列的形式必须先化成（，），在解答题中不能直接套结论，可以按错位相减求和正常写步骤，最后化简时根据结论直接得答案，或检验自己算的结果是否正确．

3．形如的数列的前项和

错位相减求和本质上就是通过代数运算，消去一些无法通过求和公式求解的项，从而将问题进行简化．因此错位相减求和除了应用于差比数列求和之外，还能应用于求解形如的数列的前项和，只是此时可能需要使用两次错位相减．

【典例1】已知数列满足，求数列的前项和．

【大招指引】因为为等差数列，为等比数列，所以是一个等差数列和一个等比数列相乘得到，所以利用错位相减法进行求解.

【解析】因为，所以，

所以（错位），

所以（相减），

因为，

所以．

【题后反思】对于错位相减法的结果可以利用公式进行验证：，，，

所以满足题意．

【温馨提醒】相减时，一定要记得错位，重点关注首项以及尾项的处理，算完之后可以代入前两项验证一下．

1．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

【典例2】求．

【大招指引】对于求解形如的数列的前项和，我们进行两次错位相减求和即可．

【解析】因为，

所以（错位），所以（相减）．令，则（错位），所以（相减）．所以．

【题后反思】形如的数列是一种特殊的数列，其求和方法是两次利用错

位相减法，第一次错位相减法将由二次降为一次，进而转化为差比数列的求和问题.

【温馨提醒】错位相减求和除了应用于差比数列求和之外，还能应用于求解形如的数列的前项和，只是此时可能需要使用两次错位相减．

2．已知数列满足，则的前100项和为（????）

A． B． C． D．

3．数列的前n项之和为，则的值等于（????）

A． B． C． D．

4．复数的虚部为(????).

A． B． C．1011 D．2022

5．已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（???）

A． B．4 C． D．5

6．已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

7．对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”.已知，则（????）

A． B．

C． D．

8．已知数列的首项为，，则数列的前2023项和为（????）

A． B．

C． D．

9．设数列满足，，则．

10．已知数列的前项和是，且．记，则数列的前项和．

11．如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：交于点和，则.

（参考数据：取.）

12．已知数列的通项公式是.在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列.那么.按此进行下去，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，则.

13．设数列{an}的前项和为，bn

(1)求数列{an}

(2)设，求数列前项和.

14．设等差数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式;

(2)设数列满足，求的前项和.

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参考答案：

1．（1），；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；

（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.

【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，

所以，所以，

即，解得，所以，

所以.

（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和

，

，

．

设，????⑧

则．?????⑨

由⑧-⑨得．

所以．

因此．

故．

[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法

证明：由（1）可得，

，①

，②