模块六立体几何大招6运动中找不变量.pdf

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大招运动中找不变量

对于涉及动点的问题来说，关键是找到运动中哪些长度、角度以及位置关系等是不变的，进

而可以利用这些运动过程中的不变量为突破口解决问题．

立体几何动态问题是高考的热点问题几何图形在变化的过程中蕴含着某些变与不变的因素，.

我们可从中分析其变化特点，寻找不变的静态因素，并追踪运动的轨迹，或通过引进参数构

建方程、函数或不等式等进行定量计算，从而实现用代数方法解决立体几何问题的目的.

1.在运动变化中寻找相关的不变因素，建立变量与不变量的有机统一体.

2.在运动变化中寻找变化的轨迹，考虑运动变化过程中的所有可能情况与区域.

3.将立体几何问题用代数方法解决，在运动变化中建立函数、方程或不等式等，将所求问

题转化为求值或求最值的问题.

4.利用极限思想考虑运动变化中的极限位置.

5.利用特殊化思想考虑运动变化中的特殊位置.

6.通过降维思想，将空间动态问题转化为平面动态问题，利用平面知识加以解决.

ABCDABCDAA3DD

【典例1】长方体中，AB1，AD2，，P是棱上的动点，

111111

DP

则△PAC的面积最小时，______．

1PD

1

试卷第1页，共8页

【大招指引】由于四棱柱ABCDABCD是长方体，因此DD∥平面ACCA，而点P在

1111111

DDACCA

棱上，于是点P到平面的距离是定值（本题中的不变量），这是解题的前提和关

111

键.

AC△PAC

【解析】我们只要得到点P到直线距离的最小值，就能得到1面积的最小值．连

1

接AC，AC，由于四棱柱ABCDABCD是长方体，因此DD∥平面ACCA，而点P在

111111111

DDACCAAC

棱上，于是点P到平面的距离是定值（本题中的不变量）．又由于直线在平

1111

ACCAACACCA

面11中，因此点P到直线的距离大于等于点P到平面11的距离．接下来就去

1

DDPPACPACCA

找棱上有没有点，使得点到直线的距离等于点到平面