山东省百师联盟2024-2025学年高二上学期9月联考数学试题（解析版）.docx

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2024～2025学年度高二9月联考

数学试题

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.给出下列命题：

①零向量的方向是任意的；

②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

③若空间向量，满足，则；

④空间中任意两个单位向量必相等．

其中正确命题的个数为（）．

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④.

【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确；

方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误；

若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误；

空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误；

所以正确的命题只有个；

故选：D.

2.如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由空间向量线性运算即可求解.

【详解】由题意可得

.

故选：A.

3.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（）．

A.若，，则 B.

C.若，则，的夹角是钝角 D.

【答案】B

【解析】

【分析】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误；

【详解】对于A，若，，则或，故A错误；

对于B，由数量积的运算律可知，故B正确；

对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误；

对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误；

故选：B.

4.设，向量，，，且，，则（）．

A. B. C.5 D.6

【答案】D

【解析】

【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可.

【详解】因为，，，

所以，所以，

因为，，，所以，所以，

所以，

所以.

故选：D.

5.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线l的一个法向量为，则直线l的点法式方程为；，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（）．

A B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意进行类比推理即可；

【详解】由题意可得，

化简可得，

故选：C.

6.已知圆锥的母线长为2，表面积为，O为底面圆心，为底面圆直径，C为底面圆周上一点，，M为中点，则的面积为（）．

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由圆锥的表面积公式求出底面半径，在中由余弦定理解出，然后在中由勾股定理求出，最后由余弦定理和三角形的面积公式求出结果即可；

【详解】

设，

由题意可得，

即，解得或（舍去），

连接，

因为M为中点，所以，

过作于，连接，则，

在中，，

即，解得，

又在中，，

所以，

所以，

所以的面积为，

故选：A.

7.如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系可证得平面，可得点的轨迹为圆，由此即可得．

【详解】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴，

建立空间直角坐标系，，，，，，

故，，

，设平面的法向量为m=x,y,z，

则，

令得，，故，

因为，故平面，

为平面上的动点，直线与直线的夹角为30°，

平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆，

即为点的轨迹，其中，

由对称性可知，，故半径，

故点的轨迹长度为.

故选：C.

8.在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由线面垂直性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解，由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果.

【详解